1/6公式、6分の1公式（ろくぶんのいちこうしき）は、定積分に関する以下の等式である。
∫ α β d x ( x − α ) ( x − β ) = − 1 6 ( β − α ) 3 {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }\mathrm {d} x\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)=-{\dfrac {1}{6}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}}
∫ α β d x ( x − α ) ( x − β ) = ∫ α β d x { x 2 − ( α + β ) x + α β } = [ 1 3 x 3 − 1 2 ( α + β ) x 2 + α β x ] α β = 1 3 β 3 − 1 2 ( α + β ) β 2 + α β 2 − 1 3 α 3 + 1 2 ( α + β ) α 2 − α 2 β = 1 3 β 3 − 1 2 α β 2 − 1 2 β 3 + α β 2 − 1 3 α 3 + 1 2 α 3 − 1 2 α 2 β − α 2 β = − 1 6 β 3 + 1 2 α β 2 − 1 2 α 2 β + 1 6 α 3 = − 1 6 ( β 3 − 3 α 2 β + 3 α β 2 − α 3 ) = − 1 6 ( β − α ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\beta }\mathrm {d} x\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)&=\int _{\alpha }^{\beta }\mathrm {d} x\left\{x^{2}-\left(\alpha +\beta \right)x+\alpha \beta \right\}\\&=\left[{\dfrac {1}{3}}x^{3}-{\dfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)x^{2}+\alpha \beta x\right]_{\alpha }^{\beta }\\&={\dfrac {1}{3}}\beta ^{3}-{\dfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\beta ^{2}+\alpha \beta ^{2}-{\dfrac {1}{3}}\alpha ^{3}+{\dfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\alpha ^{2}-\alpha ^{2}\beta \\&={\dfrac {1}{3}}\beta ^{3}-{\dfrac {1}{2}}\alpha \beta ^{2}-{\dfrac {1}{2}}\beta ^{3}+\alpha \beta ^{2}-{\dfrac {1}{3}}\alpha ^{3}+{\dfrac {1}{2}}\alpha ^{3}-{\dfrac {1}{2}}\alpha ^{2}\beta -\alpha ^{2}\beta \\&=-{\dfrac {1}{6}}\beta ^{3}+{\dfrac {1}{2}}\alpha \beta ^{2}-{\dfrac {1}{2}}\alpha ^{2}\beta +{\dfrac {1}{6}}\alpha ^{3}\\&=-{\dfrac {1}{6}}\left(\beta ^{3}-3\alpha ^{2}\beta +3\alpha \beta ^{2}-\alpha ^{3}\right)\\&=-{\dfrac {1}{6}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}\end{aligned}}}
次のように工夫して計算することもできる。
∫ α β d x ( x − α ) ( x − β ) = ∫ α β d x ( x − α ) { ( x − α ) + ( α − β ) } = ∫ α β d x { ( x − α ) 2 + ( α − β ) ( x − α ) } = [ 1 3 ( x − α ) 3 − 1 2 ( β − α ) ( x − α ) 2 ] α β = 1 3 ( β − α ) 3 − 1 2 ( β − α ) 3 = − 1 6 ( β − α ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\beta }\mathrm {d} x\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)&=\int _{\alpha }^{\beta }\mathrm {d} x\left(x-\alpha \right)\left\{\left(x-\alpha \right)+\left(\alpha -\beta \right)\right\}\\&=\int _{\alpha }^{\beta }\mathrm {d} x\left\{\left(x-\alpha \right)^{2}+\left(\alpha -\beta \right)\left(x-\alpha \right)\right\}\\&=\left[{\dfrac {1}{3}}\left(x-\alpha \right)^{3}-{\dfrac {1}{2}}\left(\beta -\alpha \right)\left(x-\alpha \right)^{2}\right]_{\alpha }^{\beta }\\&={\dfrac {1}{3}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}-{\dfrac {1}{2}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}\\&=-{\dfrac {1}{6}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}\end{aligned}}}
また、部分積分を用いて計算することもできる。
∫ α β d x ( x − α ) ( x − β ) = [ 1 2 ( x − α ) 2 ( x − β ) ] α β − ∫ α β d x 1 2 ( x − α ) 2 = − [ 1 6 ( x − α ) 3 ] α β = − 1 6 ( β − α ) 3 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\beta }\mathrm {d} x\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)&=\left[{\dfrac {1}{2}}\left(x-\alpha \right)^{2}\left(x-\beta \right)\right]_{\alpha }^{\beta }-\int _{\alpha }^{\beta }\!\mathrm {d} x\ {\dfrac {1}{2}}\left(x-\alpha \right)^{2}\\&=-\left[{\dfrac {1}{6}}\left(x-\alpha \right)^{3}\right]_{\alpha }^{\beta }\\&=-{\dfrac {1}{6}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}\end{aligned}}}
放物線と直線で囲まれた図形の面積を素早く求めることができる。
例えば、 x y {\displaystyle xy} 平面上の放物線 y = x 2 + 4 x − 5 {\displaystyle y=x^{2}+4x-5} と直線 y = 2 x − 2 {\displaystyle y=2x-2} で囲まれた図形の面積を求めるためには ∫ − 3 1 d x ( − x 2 − 2 x + 3 ) {\displaystyle \int _{-3}^{1}\mathrm {d} x\left(-x^{2}-2x+3\right)} の計算が必要になるが、これを ∫ − 3 1 d x − ( x + 3 ) ( x − 1 ) {\displaystyle \int _{-3}^{1}\mathrm {d} x-\left(x+3\right)\left(x-1\right)} と変形すると1/6公式により 1 6 ( 1 + 3 ) 3 = 32 3 {\displaystyle {\dfrac {1}{6}}\left(1+3\right)^{3}={\dfrac {32}{3}}} となり、素早く計算することができる。
また、1/6公式の応用として、
1/6公式の一般化として、 ∫ α β d x ( x − α ) m ( β − x ) n = m ! ⋅ n ! ( m + n + 1 ) ! ( β − α ) m + n + 1 {\displaystyle \int _{\alpha }^{\beta }\mathrm {d} x\ \left(x-\alpha \right)^{m}\left(\beta -x\right)^{n}={\dfrac {m!\cdot n!}{\left(m+n+1\right)!}}\left(\beta -\alpha \right)^{m+n+1}} がある[2]。
途中計算の記述が不要であるマークシート試験において、積分計算に使われることがある。
大阪大学の2022年度の文系の数学の入試問題において、1/6公式に似た等式を証明する問題が出題された[3]。
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\beta }\mathrm {d} x\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)&=\int _{\alpha }^{\beta }\mathrm {d} x\left\{x^{2}-\left(\alpha +\beta \right)x+\alpha \beta \right\}\\&=\left[{\dfrac {1}{3}}x^{3}-{\dfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)x^{2}+\alpha \beta x\right]_{\alpha }^{\beta }\\&={\dfrac {1}{3}}\beta ^{3}-{\dfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\beta ^{2}+\alpha \beta ^{2}-{\dfrac {1}{3}}\alpha ^{3}+{\dfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\alpha ^{2}-\alpha ^{2}\beta \\&={\dfrac {1}{3}}\beta ^{3}-{\dfrac {1}{2}}\alpha \beta ^{2}-{\dfrac {1}{2}}\beta ^{3}+\alpha \beta ^{2}-{\dfrac {1}{3}}\alpha ^{3}+{\dfrac {1}{2}}\alpha ^{3}-{\dfrac {1}{2}}\alpha ^{2}\beta -\alpha ^{2}\beta \\&=-{\dfrac {1}{6}}\beta ^{3}+{\dfrac {1}{2}}\alpha \beta ^{2}-{\dfrac {1}{2}}\alpha ^{2}\beta +{\dfrac {1}{6}}\alpha ^{3}\\&=-{\dfrac {1}{6}}\left(\beta ^{3}-3\alpha ^{2}\beta +3\alpha \beta ^{2}-\alpha ^{3}\right)\\&=-{\dfrac {1}{6}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31cdf5c62023996d74b8ebf02f6738b16fe22dec)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\beta }\mathrm {d} x\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)&=\int _{\alpha }^{\beta }\mathrm {d} x\left(x-\alpha \right)\left\{\left(x-\alpha \right)+\left(\alpha -\beta \right)\right\}\\&=\int _{\alpha }^{\beta }\mathrm {d} x\left\{\left(x-\alpha \right)^{2}+\left(\alpha -\beta \right)\left(x-\alpha \right)\right\}\\&=\left[{\dfrac {1}{3}}\left(x-\alpha \right)^{3}-{\dfrac {1}{2}}\left(\beta -\alpha \right)\left(x-\alpha \right)^{2}\right]_{\alpha }^{\beta }\\&={\dfrac {1}{3}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}-{\dfrac {1}{2}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}\\&=-{\dfrac {1}{6}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd61645983606e747adf2e712a7c218c2dc3afb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\alpha }^{\beta }\mathrm {d} x\left(x-\alpha \right)\left(x-\beta \right)&=\left[{\dfrac {1}{2}}\left(x-\alpha \right)^{2}\left(x-\beta \right)\right]_{\alpha }^{\beta }-\int _{\alpha }^{\beta }\!\mathrm {d} x\ {\dfrac {1}{2}}\left(x-\alpha \right)^{2}\\&=-\left[{\dfrac {1}{6}}\left(x-\alpha \right)^{3}\right]_{\alpha }^{\beta }\\&=-{\dfrac {1}{6}}\left(\beta -\alpha \right)^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d191ccb23a2b3aa831c88434379e75067c81d1)
