十三角形

十三角形（じゅうさんかくけい、じゅうさんかっけい、triskaidecagon）は、多角形の一つで、13本の辺と13個の頂点を持つ図形である。内角の和は1980°、対角線の本数は65本である。

正十三角形

正十三角形においては、中心角と外角は27.692307…°で、内角は152.307692…°となる（下線部は循環節）。一辺の長さが a の正十三角形の面積 S は

S={\frac {13}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{13}}\simeq 13.1858\,a^{2}

となる。

$\cos(2\pi /13)$ を平方根と立方根で表すと^[1]、

\cos {\frac {2\pi }{13}}={\frac {-1+{\sqrt {13}}}{12}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}+3i{\sqrt {39}}}{2}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}-3i{\sqrt {39}}}{2}}}=0.8854560...

Trigonometric constants expressed in real radicalsより

\cos {\frac {2\pi }{13}}={\frac {{\sqrt {13}}-1+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}-12i{\sqrt {39}}}}+{\sqrt[{3}]{104-20{\sqrt {13}}+12i{\sqrt {39}}}}}{12}}

求め方

以下のようにα、βを置く

{\begin{aligned}\alpha =&2\cos {\frac {2\pi }{13}}+2\cos {\frac {8\pi }{13}}+2\cos {\frac {6\pi }{13}}\\\beta =&2\cos {\frac {4\pi }{13}}+2\cos {\frac {10\pi }{13}}+2\cos {\frac {12\pi }{13}}\\\end{aligned}}

和と差の平方を求めると

{\begin{aligned}\alpha +\beta =-1\\\left(\alpha -\beta \right)^{2}=13\\\end{aligned}}

α-βを求めると（α > βより）

\alpha -\beta ={\sqrt {13}}

よって

{\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{13}}+2\cos {\frac {8\pi }{13}}+2\cos {\frac {6\pi }{13}}=&{\frac {-1+{\sqrt {13}}}{2}}\\2\cos {\frac {4\pi }{13}}+2\cos {\frac {10\pi }{13}}+2\cos {\frac {12\pi }{13}}=&{\frac {-1-{\sqrt {13}}}{2}}\\\end{aligned}}

一方

{\begin{aligned}\left(2\cos {\frac {2\pi }{13}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {8\pi }{13}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{13}}\right)^{3}=&-2+2{\sqrt {13}}+6\cdot {\frac {3-{\sqrt {13}}}{2}}+3\omega \cdot (-2)+3\omega ^{2}\cdot (-2+{\sqrt {13}})={\frac {26-5{\sqrt {13}}-3{\sqrt {39}}i}{2}}\\\left(2\cos {\frac {2\pi }{13}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {8\pi }{13}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {6\pi }{13}}\right)^{3}=&-2+2{\sqrt {13}}+6\cdot {\frac {3-{\sqrt {13}}}{2}}+3\omega ^{2}\cdot (-2)+3\omega \cdot (-2+{\sqrt {13}})={\frac {26-5{\sqrt {13}}+3{\sqrt {39}}i}{2}}\\\end{aligned}}

両辺の立方根を求めると

{\begin{aligned}2\cos {\frac {2\pi }{13}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {8\pi }{13}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {6\pi }{13}}=&{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}-3{\sqrt {39}}i}{2}}}\\2\cos {\frac {2\pi }{13}}+\omega ^{2}\cdot 2\cos {\frac {8\pi }{13}}+\omega \cdot 2\cos {\frac {6\pi }{13}}=&{\sqrt[{3}]{\frac {26-5{\sqrt {13}}+3{\sqrt {39}}i}{2}}}\\\end{aligned}}

正十三角形の作図

正十三角形はコンパスと定規による作図が不可能な図形である。

正十三角形は折紙により作図可能である^[2]。

正十三角形の正弦・余弦の代数的表現

正十三角形の作図可能性に関連し、中心角 $\theta ={\frac {2\pi }{13}}$ の正弦および余弦は、円分体のガウス周期を利用して代数的に記述することができる。

余弦の表現

変数 $x=2\cos \left({\frac {2\pi }{13}}\right)$ は、有理数体 $\mathbb {Q}$ 上の最小多項式である以下の6次方程式の最大の正の実数解となる。

x^{6}-x^{5}-5x^{4}+4x^{3}+6x^{2}-3x-1=0

正十三角形の作図に関わるガロア群は巡回群 $C_{12}$ であり、実二次体 $\mathbb {Q} ({\sqrt {13}})$ を添加することで、上記の6次方程式は2つの3次方程式に分解される。このうち、 $x$ を解に持つ3次方程式は以下のようになる。

x^{3}+{\frac {1-{\sqrt {13}}}{2}}x^{2}-x+{\frac {{\sqrt {13}}-3}{2}}=0

この方程式の3つの実数解は $2\cos \left({\frac {2\pi }{13}}\right),2\cos \left({\frac {6\pi }{13}}\right),2\cos \left({\frac {8\pi }{13}}\right)$ である。

この3次方程式をカルダノの公式を用いて解くことで、1の原始3乗根 $\omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$ を用いて $\cos \left({\frac {2\pi }{13}}\right)$ の厳密解が以下のように導出される。

\cos \left({\frac {2\pi }{13}}\right)={\frac {{\sqrt {13}}-1}{12}}+{\frac {1}{6}}\left({\sqrt[{3}]{13+{\sqrt {13}}(3\omega -1)}}+{\sqrt[{3}]{13+{\sqrt {13}}(3{\bar {\omega }}-1)}}\right)

さらに、立方根の中身をノルム $1$ の複素数に正規化し、分母を有理化することで、以下のような対称的な表現も可能である。

\cos \left({\frac {2\pi }{13}}\right)={\frac {{\sqrt {13}}-1}{12}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {13-{\sqrt {13}}}{2}}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {{\sqrt {26-5{\sqrt {13}}}}+i{\sqrt {26+5{\sqrt {13}}}}}{2{\sqrt {13}}}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {{\sqrt {26-5{\sqrt {13}}}}-i{\sqrt {26+5{\sqrt {13}}}}}{2{\sqrt {13}}}}}\right)

正弦の表現

正弦については、余弦の体 $\mathbb {Q} \left(\cos {\frac {2\pi }{13}}\right)$ において直接的な四則演算と累乗根だけでは表せず、理論上は新たな平方根（2次拡大）が必要となる。しかし、正五十二角形の余弦 $\cos \left({\frac {2\pi }{52}}\right)$ が満たす3次方程式の共役解の構造を用いることで、平方根の入れ子を最小限に抑えた代数的表現が可能となる。