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e 進法とは、記数法の底に自然対数の底（ネイピア数${\displaystyle e}$）を使った記数法である。（実用的ではないが）ある仮定の下で最も経済的である、という特徴がある。

e 進法が最も経済的な記数法であることの証明

数を ${\displaystyle x}$ ( ${\displaystyle x>0,x\in \mathbb {R} }$ )進法で表すとしたとき，
この数一桁を表すのに ${\displaystyle x}$ 個の記憶素子が要求されるものと仮定する。このとき、${\displaystyle n}$ ( ${\displaystyle n}$ は定数)桁の数を表すのに必要な記憶素子の数 ${\displaystyle N(x)}$ は，

${\displaystyle N(x)=nx}$

と表せる．
また， ${\displaystyle x}$ 進法で表された ${\displaystyle n}$ 桁の数の情報量 ${\displaystyle I}$ ( ${\displaystyle I}$ は定数， ${\displaystyle I>x}$ )について，

${\displaystyle I=x^{n}\Leftrightarrow n=\log _{x}I={\frac {\ln I}{\ln x}}}$

従って， ${\displaystyle I}$ の情報量を ${\displaystyle x}$ 進法の ${\displaystyle n}$ 桁で表すのに必要な記憶素子の数 ${\displaystyle N(x)}$ は，

${\displaystyle N(x)=nx=\ln I\cdot {\frac {x}{\ln x}}}$

ここで，

${\displaystyle {\begin{cases}N^{\prime }(x)<0&0<x<1\\N^{\prime }(x)>0&x>1\end{cases}}}$

より， ${\displaystyle N(x)}$ を最小にする ${\displaystyle x}$ の値を求めるには， ${\displaystyle N(x)}$ の微分係数が0となるような ${\displaystyle x}$ の値を求めれば良い．

${\displaystyle {\begin{aligned}N^{\prime }(x)&=\ln I\cdot \left({\frac {x}{\ln x}}\right)^{\prime }\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-1}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln x=1}$ のとき，${\displaystyle N^{\prime }(x)=0}$ であるので，

${\displaystyle x=e}$

以上より最も高効率な記数法は ${\displaystyle e}$ 進法である．

参考文献

• 伊東規之『マイクロコンピュータの基礎』日本理工出版会
• 桜井進『超・超面白くて眠れなくなる数学』PHP研究所

関連項目

• ネイピア数
• 広義の記数法
• 三進法