ハドヴィガーの定理

付値

Kⁿ を、Rⁿ における全てのコンパクト凸集合の集まりとする。

付値とは、関数 v:Kⁿ → R であって、 v(∅) = 0 かつ、S∪T∈Kⁿ である任意の S,T ∈Kⁿ に対し

${\displaystyle v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)~}$

を満たすもののことである。付値が連続であるとは、それがハウスドルフ距離について連続であることをいう。付値が剛体運動の下で不変であるとは、任意の S ∈ Kⁿ と Rⁿ の任意の平行移動または回転に対し

v(φ(S)) = v(S)

が成り立つことをいう。

Quermassintegrals

quermassintegral（英語版） W_j: Kⁿ → R は、シュタイナーの公式

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}~}$

によって定義される。ここで B はユークリッド球体。例えば、W₀ は体積、W₁ は表面積の定数倍、W_n-1 は平均幅の定数倍、W_n は定数 Vol_n(B) である。

W_j は斉 n-j 次の付値である、つまり、

${\displaystyle W_{j}(tK)=t^{n-j}W_{j}(K)~,\quad t\geq 0~.}$

系

剛体運動の下で不変で連続、かつ斉 j 次な Kⁿ 上の任意の付値 v は、W_n-j の定数倍である。