ポアソン多様体

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多様体 M がポアソン多様体（ポアソンたようたい、英: Poisson Manifold）であるとは、M 上の C^∞ 級関数全体のなすベクトル空間を C^∞(M) と表すとき、次の性質を満たす写像 ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}\colon C^{\infty }(M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)}$ が存在することをいう。

1. ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ は、${\displaystyle \mathbb {R} }$-双線形形式である。
2. ${\displaystyle \,\{f,g\}=-\{g,f\}\,}$
3. ${\displaystyle \,\{\{f,g\},h\}+\{\{g,h\},f\}+\{\{h,f\},g\}=0\,}$　:ヤコビ律
4. ${\displaystyle \,\{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}\,}$

このとき、写像 ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}\colon C^{\infty }(M)\times C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)}$ を M 上のポアソン構造、もしくはポアソン括弧と呼ぶ。

例

${\displaystyle \,(M,\omega )\,}$ をシンプレクティック多様体とする。このとき、${\displaystyle M}$上にポアソン構造が次のようにして定義できる。

${\displaystyle \,\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})\,}$

ここで、${\displaystyle \,X_{f},X_{g}\,}$ はそれぞれ ${\displaystyle \,f,g\,}$ から定まるハミルトンベクトル場である。従って、シンプレクティック多様体はポアソン多様体でもある。しかしながら、ポアソン多様体がシンプレクティック多様体であるとは限らない。

${\displaystyle (q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$ をダルブー座標とすると、シンプレクティック多様体上のポアソン構造は、

${\displaystyle \{f,g\}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial q_{i}}}-{\frac {\partial f}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial g}{\partial p_{i}}}\right)}$

と書ける。

関連項目

• 幾何学的量子化