レイノルズの輸送定理

レイノルズの輸送定理（レイノルズのゆそうていり）は、主に連続体力学で用いられる定理で、変形形状${\displaystyle \kappa _{t}}$上の積分で表される物理量${\displaystyle \theta }$の物質時間導関数（物質時間微分）について成立する次の式のことである：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v=\int _{\kappa _{t}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)\mathrm {d} v}$

概要

物質点に付随する物理量${\displaystyle \theta }$の変形形状${\displaystyle \kappa _{t}}$における総量は、以下に示す体積積分で求められる：

${\displaystyle \int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v}$

ここで、${\displaystyle \theta ({\boldsymbol {x}},t)}$は、時刻${\displaystyle t}$における注目する物質点${\displaystyle x}$の物質量である。${\displaystyle \theta }$は、スカラー値、ベクトル値、テンソル値のどれであっても以後の議論は成立する。

今、上記に示した総量の時間変化率を考える。これは、物質時間導関数（物質時間微分）${\displaystyle \mathrm {D} /\mathrm {D} t}$を用いて次のように表される：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v}$

上の式では被積分関数である${\displaystyle \theta (x,t)}$に加えて、積分領域${\displaystyle \kappa _{t}}$も時間とともに変化する。そのため、単純に積分と微分の順番を変えることができない。しかし、物質点の速度${\displaystyle v}$を用いて${\displaystyle \kappa _{t}}$の変形も考慮すれば、微分を積分の中に入れることができる。それを表すのがレイノルズの輸送定理である。

導出

基準形状(変形なし形状)${\displaystyle \kappa _{0}}$における座標${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$と写像${\displaystyle \chi }$によって、変形形状における座標${\displaystyle {\boldsymbol {x}}}$を表す。

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\chi ({\boldsymbol {X}},t)}$

上記の変換に伴って、積分領域を変形形状${\displaystyle \kappa _{t}}$から基準形状(変形なし形状)${\displaystyle \kappa _{0}}$に、積分変数を${\displaystyle {\textrm {d}}v}$から${\displaystyle {\textrm {d}}V}$に変換する。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v={\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{0}}\theta \left(\chi ({\boldsymbol {X}},t),t\right)J\mathrm {d} V}$

ここで、基準形状(変形なし形状)κ₀ における微小体積dV と、変形形状κ_t における微小体積dv には体積変化率J を用いて次の関係が成り立つことを利用した。

${\displaystyle \mathrm {d} v=J\mathrm {d} V}$

新しい積分領域である基準形状(変形なし形状)κ₀ は時間に無関係な一定の領域となるので、体積変化率J が時間によって変化することに注意すると、微分を積分の中に入れることができ、次のように変形できる。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{0}}\theta \left(\chi ({\boldsymbol {X}},t),t\right)J\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{0}}{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}{\Bigl (}\theta \left(\chi ({\boldsymbol {X}},t),t\right)J{\Bigr )}\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}J+\theta {\frac {\mathrm {D} J}{\mathrm {D} t}}\right)\mathrm {d} V}$

この式は

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} J}{\mathrm {D} t}}=J\,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}}$

であることを利用すると、次のように整理される：

${\displaystyle \int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}J+\theta {\frac {\mathrm {D} J}{\mathrm {D} t}}\right)\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}J+\theta J\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)J\mathrm {d} V}$

今度は、逆の変換に伴って、積分領域を基準形状(変形なし形状)κ₀ から変形形状κ_t に、積分変数をdV からdv に変換する。

${\displaystyle \int _{\kappa _{0}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)J\mathrm {d} V=\int _{\kappa _{t}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)\mathrm {d} v}$

結局、元の式と比較すると次の関係が成り立つ。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\int _{\kappa _{t}}\theta ({\boldsymbol {x}},t)\mathrm {d} v=\int _{\kappa _{t}}\left({\frac {\mathrm {D} \theta }{\mathrm {D} t}}+\theta \,\mathrm {div} {\boldsymbol {v}}\right)\mathrm {d} v}$

例

連続の方程式は、物理量として密度ρを輸送定理に代入して導かれる。

参考文献

• 京谷孝史『よくわかる連続体力学ノート』森北出版、2008年12月。ISBN 978-4-627-94811-2。