順序集合の有界性

順序集合 (X, ≤) とその空でない部分集合 A を考える。X の元 L が、A の任意の元 a について a ≤ L を満たすとき、L を A の上界 (upper bound) といい、上界を持つ A は上に有界であるまたは「上から抑えられる」(bounded [from] above) という。また X の元 l が、A の任意の元 a について l ≤ a を満たすならば、l を A の下界 (lower bound) といい、下界を持つ A は下に有界である、または「下から押さえられる」(bounded [from] below) という。

上に有界かつ下に有界な集合は単に有界であるという。

順序集合 (X, ≤) が半順序 ≤ に関して最大元および最小元を持つならば、この半順序は有界順序 (bounded order) である、または X は有界順序集合 (bounded poset) であるという。有界順序を持つ順序集合 X に対し、部分集合 S に順序を制限した (S, ≤) は必ずしも有界順序にはならない。

距離空間の有界性

距離空間 (M, d) の部分集合 S が有界であるとは、S が有限な半径を持つ球で覆えることをいう。すなわち、M の元 x と正数 r > 0 で、任意の S の元 s に対して d (x, s) < r となるようなものが存在するとき、S は有界であるという。

M がそれ自身を M の部分集合とみて有界であるとき、d を有界距離函数 (bounded metric) といい、M を有界距離空間 (bounded metric space) と呼ぶ。

ここでSが空集合でないときは中心xをSの元に選ぶとしても同値である。

また同値な特徴付としてSの直径 diam S := sup{d(x, y) | x, y ∈ S} が有限というものがある。