蛇の補題

蛇の補題（へびのほだい、英: snake lemma）、スネーク・レンマは数学、特にホモロジー代数において、しばしば短完全列から長完全列を構成するために用いられる道具である。蛇の補題はすべてのアーベル圏で有効であり、ホモロジー代数やその応用、例えば代数トポロジーにおいて、広く利用される基本的な道具の一つである。この補題によって構成される準同型は、一般に連結準同型 (connecting homomorphism) と呼ばれる。

補題の主張

任意のアーベル圏（アーベル群の圏や与えられた体上のベクトル空間の圏など）において、以下の可換図式

を考える。ただし、2つの行は完全であり、0 は零対象である。このとき、射 a, b, c の核と余核を結ぶ、以下の完全列が存在する。

$\ker a\;\xrightarrow {f_{*}} \ker b\;\xrightarrow {g_{*}} \ker c\;{\overset {d}{\longrightarrow }}\operatorname {coker} a\;\xrightarrow {f'_{*}} \operatorname {coker} b\;\xrightarrow {g'_{*}} \operatorname {coker} c$

ここで、射 $f_{*},g_{*}$ は（それぞれ $f,g$ から）自然に誘導される射であり、 $f'_{*},g'_{*}$ も（それぞれ $f',g'$ から）自然に誘導される射である。射 d は連結準同型（connecting homomorphism）と呼ばれる。

さらに、射 f がモノ射であれば、誘導された射 $f_{*}\colon \ker a\to \ker b$ もモノ射であり、射 g' がエピ射であれば、誘導された射 $g'_{*}\colon \operatorname {coker} b\to \operatorname {coker} c$ もエピ射である。

写像の構成

核の間の写像と余核の間の写像は、図式の可換性によって、与えられた（水平の）写像から自然な方法で誘導される。2つの誘導された列の完全性はもとの図式の行の完全性から直ちに従う。補題の重要なステートメントは、完全列を完成させる連結準同型 d が存在するということである。

アーベル群やある環上の加群の場合、写像 d は次のように構成できる。ker c の元 x をとり、それを C の元と見る。g は全射なので、ある B の元 y が存在して、g(y) = x である。図式の可換性によって、 $g'(b(y))=c(g(y))=c(x)=0\!$ であり（なぜならば x は c の核に属しているから）、したがって b(y) は g' の核に属している。下の行が完全なので、A' の元 z が存在して、f '(z) = b(y) である。z は f ' の単射性によって一意である。そこで d(x) = z + im(a) と定義する。さて次のことを確認しなければならない。d は well-defined である（すなわち d(x) は x にのみ依り、y の取り方によらない）こと、d は準同型であること、そして得られる長い列が実際に完全であること。

それが為されれば、定理はアーベル群や環上の加群に対して証明される。一般の場合には、議論は元の代わりに射や cancellation の性質の言葉で言い直されるであろう。あるいは、ミッチェルの埋め込み定理の助けを借りてもよい。

名前の説明

この補題が「蛇」と呼ばれる所以は、補題の主張である長完全列を、核と余核を含めて拡張した以下の図式

において視覚化できる。補題の結論である完全列 $\ker a\to \ker b\to \ker c\xrightarrow {d} \operatorname {coker} a\to \operatorname {coker} b\to \operatorname {coker} c$ は、この図式において、連結準同型 d の部分を横切る、蛇のような形状を描いていることに由来する。

自然性

応用において、蛇の補題によって得られる長完全列が（自然変換の意味で）「自然」であることを示す必要がある場合も多い。これは、蛇の補題の構成自体が関手的（functorial）であること、すなわち、蛇の補題（の前提となる図式）の間の射に対して、それから誘導される長完全列の間の可換図式（はしご状の射）を誘導することから従う。

具体的には、以下のような「手前」と「奥」に2つの（蛇の補題の前提となる）可換図式があり、それらを縦に結ぶ射（図中の $a_{1}\to a_{2}$ , $b_{1}\to b_{2}$ など）が存在し、全体が可換（すなわち、すべての小図式が可換）である状況を考える。

このとき、蛇の補題を「手前」の図式（添字 1）と「奥」の図式（添字 2）それぞれに適用して得られる2つの長完全列（ $\ker a_{1}\to \dots \to \operatorname {coker} c_{1}$ と $\ker a_{2}\to \dots \to \operatorname {coker} c_{2}$ ）の間には、縦の射から誘導される射（ $\ker a_{1}\to \ker a_{2}$ など）が存在する。これらは下の形の可換図式（長完全列の間の「可換なはしご」）を構成する。

大衆文化において

蛇の補題の証明は1980年の映画 It's My Turn の最初にジル・クレイバーグによって教えられている。

参考文献

Serge Lang: Algebra. 3rd edition, Springer 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, pp. 157–159 (online copy, p. 157, - Google ブックス)
M. F. Atiyah; I. G. Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Oxford 1969, Addison–Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9.
P. Hilton; U. Stammbach: A course in homological algebra. 2. Auflage, Springer Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, p. 99 (online copy, p. 99, - Google ブックス)

外部リンク

Weisstein, Eric W. “Snake Lemma”. mathworld.wolfram.com (英語).
Snake Lemma at PlanetMath
Proof of the Snake Lemma in the film It's My Turn