アリコット数列（英語: aliquot sequence）は、各項が直前の項の自分自身を除く約数の和となっている再帰数列である。自然数 k から始まるアリコット数列は、約数関数 σ1 によって次のように定義される[1]：

s0 = k
sn = σ1(sn−1) − sn−1.

例えば、10 から始まるアリコット数列は 10, 8, 7, 1, 0 である。すなわち、

σ1(10) − 10 = 5 + 2 + 1 = 8
σ1(8) − 8 = 4 + 2 + 1 = 7
σ1(7) − 7 = 1
σ1(1) − 1 = 0

多くのアリコット数列は、素数、続いで 1 (素数の自分自身を除く約数は1のみ)、続いで 0 (1は自分自身以外の約数がない) となって終了する (A080907)。終了しないアリコット数列にはいくつかの場合があり、

ウジェーヌ・シャルル・カタランは、あらゆるアリコット数列は素数、完全数、友愛数、社交数のいずれかで終了すると予想した[2]。この予想が正しくない場合、非周期的で無限に続くアリコット数列が存在する事になる。未だに多くの数についてアリコット数列が最後まで決定されておらず、その中にカタランの予想の反例があるかもしれない。このような数のうち最初の5個である 276, 552, 564, 660, 966 をディック・レーマー（英語版）に因んで"レーマーの五数"(Lehmer Five)と呼ぶ[3]。

2015年4月現在、10万以下の自然数のうち 898 個、100万以下では 9190 個のアリコット数列が未決定である[4]。

外部リンク

脚注

  1. ↑ Weisstein, Eric W. "Aliquot Sequence". mathworld.wolfram.com (英語).
  2. ↑ Weisstein, Eric W. "Catalan's Aliquot Sequence Conjecture". mathworld.wolfram.com (英語).
  3. ↑ Lehmer Five (W. Creyaufmüller)
  4. ↑ Aliquot Pages (W. Creyaufmüller)

出典

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