アルティン環（アルティンかん、Artinian ring、アルチン環とも）とは、降鎖条件から定まるある種の有限性をもった環のこと。名称はエミール・アルティンにちなむ。

定義

環 R に対し次の二条件は同値である^[1]。

• （降鎖条件）： R の左イデアルからなる任意の降鎖は有限の長さで停止する：

  ${\displaystyle I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \cdots ,(I_{k}{\text{$ : ideal}},k=1,2,\dots )\Rightarrow \exists N{\text{ such that }}I_{N}=I_{N+1}=\cdots .}

• （極小条件）： R の左イデアルからなる空でない任意の族は包含関係に関する極小元を持つ：

  ${\displaystyle \varnothing \neq L:=\{I_{\lambda }\subseteq R\mid I_{\lambda }{\text{$ : ideal}},\lambda \in \Lambda \}\Rightarrow \exists I\in L{\text{ such that }}I\ \not \supset \ I_{\lambda }{\text{ for all }}\lambda .}

これらの同値な条件を満たす環 R は左アルティン的 (left Artininan) であると言い、また左アルティン的である環を左アルティン環と呼ぶ。また、上記条件中の「左イデアル」と「右イデアル」とを取り替えて右アルティン環 (right Artininan ring) が定義される。環 R が左右両側でアルティン的 (two sided Artininan) であるとき、R は両側アルティン環であるという。考えている環 R が可換環であるならば左右の区別なく単にアルティン環あるいは可換環であることを強調して可換アルティン環あるいはアルティン的可換環などと呼ぶ。文脈によっては左アルティン環、右アルティン環あるいは両側アルティン環のことを単にアルティン環と略称する。

例

性質

脚注

参考文献

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992). Rings and categories of modules. Graduate Texts in Mathematics. 13 (Second ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97845-3. MR1245487. Zbl 0765.16001. https://books.google.co.jp/books?id=MALaBwAAQBAJ 
• Auslander, Maurice; Buchsbaum, David (2014) [1974]. Groups, Rings, Modules. Dover. ISBN 978-0-486-49082-3. https://books.google.co.jp/books?id=MVEuBAAAQBAJ 
• Lam, T. Y. (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (Second ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-95183-0. MR1838439. Zbl 0980.16001. https://books.google.co.jp/books?id=2T5DAAAAQBAJ 

関連項目

• アルティン加群
• ネーター環