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アーベル方程式

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この項目では、特定の函数方程式について説明しています。未知函数についての3次の常微分方程式については第一種アーベル方程式（英語版）をご覧下さい。

数学において、ニールス・アーベルの名にちなむアーベル方程式（アーベルほうていしき、英: Abel equation）とは、

f(h(x))=h(x+1)\,\!

あるいは

\alpha (f(x))=\alpha (x)+1\!

の形式で記述され、 $f$ の反復をコントロールする特殊な函数方程式のことを言う。

同値性

上述の二つの方程式は同値である。実際、 $α$ を可逆函数とすると、二番目の方程式は

\alpha ^{-1}(\alpha (f(x)))=\alpha ^{-1}(\alpha (x)+1)\,

のように書くことが出来る。すると $x = α -1 (y)$ とすることで、この方程式は

f(\alpha ^{-1}(y))=\alpha ^{-1}(y+1)\,

のように書くことが出来る。既知とされる函数 $f (x)$ に対して、問題は函数 $α -1$ についての函数方程式を解くこととなる。また $α -1 (0) = 1$ のような追加条件も必要となる可能性がある。

実パラメータ $s$ に対して変数変換 $s α (x) = Ψ(x)$ を行うことで、アーベル方程式は有名なシュレーダーの方程式 $Ψ(f (x)) = s Ψ(x)$ に書き換えることが出来る。

さらに変換 $F (x) = exp(s α (x))$ を施すことで、ボッチャーの方程式 $F (f (x)) = F (x) s$ が得られる。

はじめ、この方程式はより一般的な形式で記述されていた^[1] ^[2]。その方程式は、一変数の場合ですら非自明なもので、特別な解析が必要とされた^[3]^[4]。

線型変換函数の場合、解はコンパクトな形式で表現できる^[5]。

テトレーションの方程式は、 $f = exp$ であるようなアーベル方程式の特別な場合である。

整数の議論の場合、アーベル方程式は再帰的な手順を表すものである。例えば

\alpha (f(f(x)))=\alpha (x)+2~

や

\alpha (f_{n}(x))=\alpha (x)+n~

などのようになる。

ファトウ座標は、放物型不動点の近くでの離散力学系の局所的な挙動を記述する、アーベル方程式の解を表すものである^[6]。