キャップ積

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代数トポロジーにおいて、キャップ積（英: cap product）は次数 p のチェイン（英語版）と次数 q ≤ p のコチェインから次数 p − q の新しいチェインを作る手法である。キャップ積は1936年にEduard Čech（英語版）により、1938年にHassler Whitney（英語版）により独立に導入された。

定義

X を位相空間とし R を係数環とする。キャップ積は特異ホモロジー及びコホモロジー上の双線型写像

${\displaystyle \frown \;:H_{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)}$

であって以下のように定義される。特異チェイン ${\displaystyle \sigma$ :\Delta \ ^{p}\rightarrow \ X} と特異コチェイン ${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)}$ に対し

${\displaystyle \sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{p}]}}$

とする。ここで、表記 ${\displaystyle \sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]}}$ は単体写像 ${\displaystyle \sigma }$ の底のベクトルによって張られる面への制限を表す。単体（英語版）を参照。

Equations

キャップ積のバウンダリは次で与えられる：

${\displaystyle \partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi ).}$

写像 f が与えられると誘導された写像は次を満たす：

${\displaystyle f_{*}(\sigma )\frown \psi =f_{*}(\sigma \frown f^{*}(\psi )).}$

キャップ積とカップ積は次で関係づけられる：

${\displaystyle \psi (\sigma \frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(\sigma )}$

ただし

${\displaystyle \sigma$ :\Delta ^{p+q}\rightarrow X} , ${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)}$ and ${\displaystyle \varphi \in C^{p}(X;R).}$

最後の式の面白い結果として、${\displaystyle H_{\ast }(X;R)}$ は右 ${\displaystyle H^{\ast }(X;R)}$ 加群になる。

関連項目

• カップ積
• ポワンカレ双対
• 特異ホモロジー
• ホモロジー論

参考文献

• Hatcher, A., Algebraic Topology, Cambridge University Press (2002) ISBN 0-521-79540-0. Detailed discussion of homology theories for simplicial complexes and manifolds, singular homology, etc.
• slant product in nLab