ゴッサード配景中心

ゴッサード三角形

△ABCのオイラー線が辺BC,CA,ABと交わる点をそれぞれD,E,Fとする。次に、 △A_gB_gC_gを、△AEF, △BFD, △CDEのオイラー線が成す三角形とする。ただしA_gは△BFD, △CDEのオイラー線の交点とする。B_g,C_gも同様に定義される。この△A_gB_gC_gをゴッサード三角形（Gossard triangle）という^[3]。

ゴッサード配景中心

△ABCのゴッサード三角形を△A_gB_gC_gとする。このとき直線AA_g,BB_g,CC_gは一点で交わる。この点を△ABCのゴッサード配景中心という。

座標

ゴッサード配景中心の重心座標は以下の式で表される。

${\displaystyle p(a,b,c)=2a^{4}-a^{2}b^{2}-a^{2}c^{2}-(b^{2}-c^{2})^{2}}$

${\displaystyle y(a,b,c)=a^{8}-a^{6}(b^{2}+c^{2})+a^{4}(2b^{2}-c^{2})(2c^{2}-b^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}{\bigl (}3a^{2}(b^{2}+c^{2})-b^{4}-c^{4}-3^{b}2c^{2}{\bigr )}}$${\displaystyle f(a,b,c)=p(a,b,c)y(a,b,c)}$

として

${\displaystyle {\Bigl (}f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b){\Bigr )}}$

ゼーマンによる一般化

次はクリスストファー・ゼーマンによる一般化である^[4]。

△ABCのオイラー線lと平行な直線とBC,CA,ABの交点をそれぞれX,Y,Zとする。次に△A'B'C' を△AYZ,△BZX,△CXYのオイラー線の成す三角形とする。△A'B'C' と△ABCのそれぞれの辺は平行である^[4]。

ヨウによる一般化

次はパウル・ヨウ（Paul Yiu）による一般化である^[1][5]。

△ABCとその重心（幾何中心）Gではない点Pを取る。

直線PGとBC,CA,ABの交点をそれぞれX,Y,Z、△AYZ,△BZX,△CXYの重心をG_a,G_b,G_cとする。

次に、それぞれYを通るCPの平行線と、Zを通るBPの平行線も交点をP_aとする。

P_b,P_cも同様に定義する。このときG_aP_a,G_bP_b,G_cP_cの成す三角形を△A'B'C' と置く。

このとき△A'B'C' と△ABCのそれぞれの辺は平行である。

Pが垂心のとき、直線PGはオイラー線で、△A'B'C' はゴッサード三角形となる。

ダオによる一般化

ダオ・タイン・オアイ（Dao Thanh Oai）はさらなる一般化を公表している。△ABCと異なる二点H,Oを用意する。直線OHとBC,CA,ABの交点をそれぞれA₀,B₀,C₀する。次に、C₀を通るBHの平行線とB₀を通るCHの平行線交点をA_H、C₀を通るBOの平行線とB₀を通るCOの平行線交点をA_Oとする。B_H,B_O,C_H,C_Oも同様に定義する。このとき、A_HA_O,B_HB_O,C_HC_Oの成す三角形は基準三角形△ABCと合同で、かつ相似の位置にあり、相似の中心はOH上にある。ダオの結果は以下のように上記の定理をすべて統一した^[6][7][8]。

• 直線OHがオイラー線と一致すると、ゴッサード三角形とゴッサード配景中心となる。
• 直線OHがオイラー線と平行ならゼーマンの一般化となる。
• O,Hのうち一点が重心ならば、ヨウの一般化となる。

ある直線OHに関する、最後の相似の中心は直線OHのダオ＝ゼーマン配景中心（Dao-Zeeman perspector）と呼ばれる^[7]。