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サーモンの定理

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シムソン線に関するサーモンの定理

サーモンの定理（サーモンのていり、英: Salmon's theorem）は、ジョージ・サーモンに因んで命名された幾何学の諸定理。

極線に関する定理

Oを中心とする円と任意の点A,Bについて、B,Aの極線へのA,Bの直交射影（垂足）をP,Qとしたとき、が成立する[1][2][3][4][5]。

この定理に関して、澤山勇三郞は次の一般化を示した[6]。

円錐曲線Sと任意の点A,Bに関して、A,Bの極線のA,Bを通る垂線とSの一方の軸との交点をそれぞれM,N、B,Aの極線へのA,Bの直交射影をP,Qとしたとき、が成立する。

弦に関する定理

円周O上の任意の一点Pを通る3つの弦を直径とする円をそれぞれ書く。3円のPでない方の交点は共線である[2][7]。これはOと3円の交点が成す三角形のシムソン線となる。

この定理には小倉金之助による一般化が存在する[8]。

楕円に関する定理

2つの共焦点楕円に囲まれた領域を作る。内側の楕円に接するような軌道でボールを打ち出す。ビリヤードの球の様に外側の楕円で跳ね返るようにボールの軌道を描いたとき、軌道は、内側の楕円に接し続ける[1]。

円錐曲線に関する定理

ある三角形とその極三角形の配景の中心と配景の軸それぞれを、その円錐曲線に関する「極」「軸」と表現する。また、極三角形が元の三角形と一致するとき、円錐曲線に関して「自共役」であると表現する。

2つの円錐曲線S,S'について、S'に内接する任意の三角形がSに関して自共役であるとする。このときS'に内接する三角形のSに関する極はS'上にある。Sに外接する三角形のS'に関する軸はSに接する[2]。

他にも、円錐曲線に関するサーモンの定理と呼ばれる定理が存在する[9]。

ケイリー-サーモンの定理

円に内接する六角形abcdefにおいて、たとえばab,cdの交点を(ab , cd)と表す。(ab , de),(bc , ef),(cd , fa)はパスカルの定理より一直線（パスカル線）上にある。このパスカル線をと書く。

今、それぞれab,cd,ef、de,fa,bc、cf,be,adの成す三角形について、2つの三角形の対応する辺の交点はパスカル線上にあるため、対応する頂点を結ぶ3直線は共点（シュタイナー点）である（シュタイナーの定理）。円上の6点についてシュタイナー点は20個存在する。次にそれぞれ3辺

からなる3つの三角形の、2つの三角形の対応する辺の交点はパスカル線上にあるため、対応する頂点を結ぶ3直線は共点（カークマン点）である。ここで、シュタイナー点1つとカークマン点3つを通るような直線が20本存在する。この20本の線は4本ずつ共点であり、このような点は15個存在する。これをケイリー-サーモンの定理という[2][10]。アーサー・ケイリーの名を冠する。

他、三次曲面（英語版）や代数曲線に関する定理のサーモンの定理、ケイリー-サーモンの定理がある[11][12][13]。

三角形に関しては、重心、垂心、外心、九点円の中心（英語版）が調和点列を成すことを、サーモンの定理と呼ぶこともある[14]。

出典

  1. 1 2 Mathworld
  2. 1 2 3 4 ジョージ・サーモン 著、小倉金之助 訳『解析幾何学 : 円錐曲線』山海堂出版部、1914年。NDLJP:952208。
  3. ↑ 長沢亀之助『幾何学辞典 : 問題解法』長沢亀之助、1907年、471頁。NDLJP:1087163。
  4. ↑ N, E. H. (1954-05). “2405. Notes on conics. 17. Salmon's Theorem” (英語). The Mathematical Gazette 38 (324): 125–126. doi:10.2307/3609833. ISSN 0025-5572.
  5. ↑ Phillips, William Henry Harrison（英語）『Elements of Geometry: And the First Principles of Modern Geometry』Sheldon & Company、1878年。
  6. ↑ 森本清吾 (1938). 沢山勇三郎全集. 岩波書店. NDLJP:1239383
  7. ↑ 山崎栄作『最新高等平面幾何学通論』内田老鶴圃、1930年、51頁。NDLJP:1223370。
  8. ↑ Eugène Rouché,Charles de Comberousse 著、小倉金之助 編『初等幾何学 第2巻 平面之部』山海堂、1913年。NDLJP:1082037。
  9. ↑ 窪田忠彦『初等幾何学特選問題』共立社書店、1932年、113頁。NDLJP:1211458。
  10. ↑ Eugène Rouché,Charles de Comberousse 著、小倉金之助 編『初等幾何学 第1巻 平面之部』山海堂、1913年、505頁。doi:10.11501/930885。
  11. ↑ arXiv:1804.08025
  12. ↑ Hirschfeld, J. W. P.、Korchmaros, Gabor、Torres, Fernando（英語）『Algebraic Curves over a Finite Field』Princeton University Press、2013年3月25日。ISBN 978-1-4008-4741-9。
  13. ↑ Beltrametti, Mauro (2009) (英語). Lectures on Curves, Surfaces and Projective Varieties: A Classical View of Algebraic Geometry. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-064-7
  14. ↑ Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника アーカイブ 2020年2月25日 - ウェイバックマシン. — Одесса, 1902. — С. 47. Глава II, п.47

参考文献

外部リンク