読む 編集 履歴表示

トリリウムの定理

ウィキペディアから、無料の百科事典

トリリウムの定理[1] (トリリウムのていり、露: теорема трилистника、英: Trillium theorem）あるいは内心傍心補題（Incenter/excenter lemma）とは幾何学の定理の一つである。

定理

△ABCにおける内心をI、点Aに対する傍心をJとする。半直線AI（これはJを通過する）と△ABCの外接円との交点をPとする。

このとき、点I,B,J,Cは点Pを中心とする同一円周上にある。

証明

半直線ABと傍接円との接点をHとする。

まず ∠BAP = ∠CAP より PB = PC である。

次に

∠IBP = ∠IBC + ∠CBP = ∠IBC + ∠CAP = ∠IBA + ∠IAB = ∠BIP

つまり ∠IBP = ∠BIP。

よって△PBIは二等辺三角形であり PB = PI である。

以上から PB = PI = PC である。

また

∠JBI = ∠IBC + ∠JBC = 1/2∠ABC + 1/2∠CBH = 1/2 (∠ABC + ∠BCA + ∠CAB) = 90°

つまり ∠JBI = 90°

いま直角三角形JBIにおいて斜辺IJ上に点Pがあることと PB = PI が分かっている。このとき

∠PJB = 90° - ∠BIP = 90° - ∠IBP = ∠PBJ

より△PBJは二等辺三角形であり PB = PJ である。

以上から PB = PI = PC = PJ である。

これが示されるべきことであった(Q.E.D.)。

一般化

I,Jを内心、傍心の延べ4点のうちの任意の2点とする。直線IJは三角形の頂点のいずれかを通るかつ、IJを直径とする円は他の2頂点を通る[2]。

出典

  1. ↑ Evan Chen『数学オリンピック幾何への挑戦　ユークリッド幾何学を巡る船旅』日本評論社、2023年、18頁。ISBN 9784535789784。
  2. ↑ Chou, Shang-Ching; Gao, Xiao-Shan; Zhang, Jingzhong (1994). Machine Proofs in Geometry. World Scientific. Examples 6.145 and 6.146, Template:Pgs. ISBN 9789810215842.

外部リンク