第1種及び第2種ベッセル関数

これらの関数がベッセル関数群としては最も一般的な形式である。

第1種ベッセル関数

第1種ベッセル関数は ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ と表記される。${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ はベッセルの微分方程式の解であり、${\displaystyle \alpha }$ が整数もしくは非負であるとき、${\displaystyle x=0}$ で有限の値をとる。${\displaystyle J_{\alpha }}$ における特定解の選択及び正規化は後述する。第1種ベッセル関数はまた、${\displaystyle x=0}$ のまわりでのテイラー展開（非整数の ${\displaystyle \alpha }$ に対しては、より一般にべき級数展開）によって定義することもできる。

${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha }}$

非整数の ${\displaystyle \alpha }$ に対しては、${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ と ${\displaystyle J_{-\alpha }(x)}$ とがベッセルの微分方程式に対する線形独立な2つの解を与える。他方で${\displaystyle \alpha }$ が整数の場合には、${\displaystyle J_{-n}(x)=(-1)^{n}J_{n}(x)}$ という関係が成り立つため、2つの解は線形従属となる。整数次数に対して ${\displaystyle J_{n}(x)}$ と線形独立な第2の解は、第2種ベッセル関数によって与えられる。

第2種ベッセル関数

ノイマン関数

第2種ベッセル関数 ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ はベッセルの微分方程式の解であり ${\displaystyle x=0}$ において特異性を持つ。ベッセル関数はノイマン関数とも呼ばれ、${\displaystyle N_{\alpha }(x)}$ と表される。

第2種ベッセル関数と第1種ベッセル関数 ${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ は以下の関係を持つ。

${\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}}$

ただし、${\displaystyle \alpha }$ が整数のときは右辺は極限によって定義されるものとする。

非整数の ${\displaystyle \alpha }$ に対しては、${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ と ${\displaystyle J_{-\alpha }(x)}$ とが線形独立な2つの解を既に与えているので、${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ は解の表現としては冗長である。整数 ${\displaystyle n}$ に対しては、${\displaystyle Y_{n}(x)}$ は ${\displaystyle J_{n}(x)}$ と線形独立な第2の解を与えている。 整数 ${\displaystyle n}$ に対して、${\displaystyle Y_{n}(x)}$ と ${\displaystyle Y_{-n}(x)}$ の間に ${\displaystyle Y_{-n}=(-1)^{n}Y_{n}(x)}$ という関係が成り立ち、従って両者は線形従属である。

${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$ 及び ${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$ はどちらも、負の実軸を除く複素平面上で ${\displaystyle x}$ の解析的な関数（正則な関数）である。${\displaystyle \alpha }$ が正の整数のとき、これらの関数は負の実軸上に分岐点を持たず、したがって ${\displaystyle x}$ の整関数となる。また、固定した ${\displaystyle x}$ に対して、ベッセル関数は ${\displaystyle \alpha }$ の整関数となる。

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  第1種ベッセル関数
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  第2種ベッセル関数

超幾何級数との関係

• ベッセル関数は超幾何級数（超幾何関数ともいう）によって、以下のように表現することができる。

${\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {(z/2)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\;_{0}F_{1}(\nu +1;-z^{2}/4).}$

ハンケル関数

• ベッセルの微分方程式に対する線形独立な2つの解を与える表式には、ハンケル関数H_α⁽¹⁾(x) と H_α⁽²⁾(x)があり、定義式は以下の通り。

${\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x)}$

${\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x)}$

ここで、${\displaystyle i}$は虚数単位である。${\displaystyle J_{\alpha }(x)}$と${\displaystyle Y_{\alpha }(x)}$との線形結合によって与えられるこれらの解の表現は、第三種ベッセル関数として知られている(ハンケル関数は円筒波の方程式における、内側もしくは外側への円筒波の伝播の解を表現する)。

変形ベッセル関数

ベッセル関数は${\displaystyle \displaystyle x}$の複素数値に対しても適切に定義されており、応用上は ${\displaystyle \displaystyle x}$が純虚数の場合が特に重要である。この場合、ベッセルの微分方程式への解は第1種及び第2種の変形ベッセル関数と呼ばれ、以下のように定義される。

${\displaystyle \displaystyle I_{\alpha }(x)=i^{-\alpha }J_{\alpha }(ix)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!\Gamma (m+\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{2m+\alpha }}$

${\displaystyle K_{\alpha }(x)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\alpha }(x)-I_{\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}}={\frac {\pi }{2}}i^{\alpha +1}H_{\alpha }^{(1)}(ix).}$

これらの関数は、${\displaystyle \displaystyle x}$が実数のときに関数値が実数となるように定義されている。またこれらの関数は、変形されたベッセルの微分方程式

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}-(x^{2}+\alpha ^{2})y=0.}$

に対する2つの線形独立な解を与えている。

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  第1種変形ベッセル関数
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  第2種変形ベッセル関数

変形ベッセル関数には以下の性質がある。 ここで、n は正の整数またはゼロ。

${\displaystyle {\begin{aligned}&I_{-n}(x)=I_{n}(x)\\&K_{-\alpha }(x)=K_{\alpha }(x)\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&K_{n+1/2}(x)=\left({\frac {\pi }{2x}}\right)^{1/2}\exp(-x)\sum _{r=0}^{n}{{\frac {(n+r)!}{r!(n-r)!}}(2x)^{-r}}\end{aligned}}}$

球ベッセル関数・球ノイマン関数

第1種及び第2種のベッセル関数から、球ベッセル関数(spherical Bessel functions)と球ノイマン関数(spherical Neumann functions)がそれぞれ以下のように定義される。

${\displaystyle j_{\alpha }(x)=\left({\frac {\pi }{2x}}\right)^{1/2}J_{\alpha +1/2}(x)}$

${\displaystyle n_{\alpha }(x)=\left({\frac {\pi }{2x}}\right)^{1/2}N_{\alpha +1/2}(x)}$

これらの関数は、球ベッセル微分方程式

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {dy}{dx}}+\left[1-{\frac {\alpha (\alpha +1)}{x^{2}}}\right]y=0}$

に対する2つの線形独立な解を与えている。

量子力学における3次元自由粒子のシュレーディンガー方程式の動径方向の解のうち、正則なものは球ベッセル関数で表され、正則でないものは球ノイマン関数で表される。

また3次元井戸型ポテンシャルのシュレディンガー方程式における、ポテンシャル内部の動径方向の解のうち、原点で発散しないものは球ベッセル関数で表され、原点で発散するものは球ノイマン関数で表される。

球ハンケル関数

• 球ベッセル微分方程式に対する線形独立な2つの解を与える表式には、球ハンケル関数h_α⁽¹⁾(x) と h_α⁽²⁾(x)があり、定義式は以下の通り。

${\displaystyle h_{\alpha }^{(1)}(x)=j_{\alpha }(x)+iy_{\alpha }(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}H_{n+1/2}^{(1)}(x)}$

${\displaystyle h_{\alpha }^{(2)}(x)=j_{\alpha }(x)-iy_{\alpha }(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}H_{n+1/2}^{(2)}(x)}$

ここで、${\displaystyle i}$ は虚数単位である。

また、非負の整数 n について:

${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)=(-i)^{n+1}{\frac {e^{ix}}{x}}\sum _{m=0}^{n}{\frac {i^{m}}{m!(2x)^{m}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}}$

${\displaystyle h_{n}^{(2)}}$ は、実数xに関して${\displaystyle h_{n}^{(1)}(x)}$の複素共役となる。

量子力学では、3次元井戸型ポテンシャルのシュレディンガー方程式における、ポテンシャル外部の動径方向の解は、球ハンケル関数で表される。第一種球ハンケル関数は外向き、第二種球ハンケル関数は内向きを表す。

変形球ベッセル関数

第1種及び第2種の変形ベッセル関数から、変形球ベッセル関数(英:modified spherical Bessel functions)が以下のように定義される。

${\displaystyle i_{\alpha }(x)=\left({\frac {\pi }{2x}}\right)^{1/2}I_{\alpha +1/2}(x)}$

${\displaystyle k_{\alpha }(x)=\left({\frac {2}{\pi x}}\right)^{1/2}K_{\alpha +1/2}(x)}$

これらの関数は、変形球ベッセル微分方程式

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}-\left(x^{2}+\alpha (\alpha +1)\right)y=0}$

に対する2つの線形独立な解を与えている。

変形球ベッセル関数には以下の性質がある。

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{-n-1/2}(x)=k_{n+1/2}(x)\end{aligned}}}$

ここで、n は正の整数またはゼロ。

出典