抽象代数学 におけるモノイド環 （モノイドかん、英 : monoid ring モノイド多元環 （モノイドたげんかん、英 : monoid algebra 単位的 ）環 とモノイドから構成される単位的多元環 で、多項式環 の概念を一般化するものである。
実際、環 R 上の一変数多項式環 R [x ]R と（0 を含む）自然数 全体の成す（加法的）モノイド N 不定元 x を用いて乗法的に書いた可換モノイド {x n | n ∈ N } ）から得られるモノイド環 R [{x n N n n -変数の多項式環 R [N n R [X1 , …, Xn
与えられたモノイドがさらに群 を成すとき、得られるモノイド環は群環 と呼ばれる。
R を環とし G をモノイドとする。以下の二つは本質的に同じ構造を定める。
言い方を変えれば、前者の「形式和」の意味は後者の写像として理解される。[注 2]
R [G ]単位的 である。実際、R の乗法単位元 1 と G の単位元 e に対して、1⋅ e ∈ R [G ] は上記乗法の単位元を与える。R [G ]G が可換モノイドであるときである。係数環の変更 A, B とその間の環準同型 f : A → B F : A [G ] → B [G ](Fφ )(g ) := f (φ (g )) （形式和で書けば F (∑ r g ⋅ g ) := ∑ f (r g ⋅ g r ∈ R
(
r
ϕ
)
(
g
)
:=
r
(
ϕ
(
g
)
)
(
r
∑
g
r
g
⋅
g
:=
∑
g
(
r
r
g
)
g
)
{\displaystyle (r\phi )(g):=r(\phi (g))\qquad \left(r\sum _{g}r_{g}\cdot g:=\sum _{g}(rr_{g})g\right)}
を定義して R [G ]R 上の多元環 になる。
環 R とモノイド G が与えられると、各 r を r ⋅ 11 = 1G は G の単位元）に送る環準同型 α : R → R [G ]g を 1⋅ g （1 = 1R は R の乗法単位元）に送るモノイド準同型 （英語版 ） β : G → R [G ]R [G ]R と G は R [G ]r ∈ R g ∈ G α (r )β (g )
モノイド環の普遍性
任意の環 S について、環準同型 α′ : R → S β′ : G → S S は乗法についてモノイドと見る）の組で α′ (r )β′ (g )(r ∈ R , g ∈ G ) が常に可換となるものが与えられるならば、環準同型 γ : R [G ] → S γ ∘ α = α′ γ ∘ β = β′ 圏論 的に述べれば、モノイドの圏 Mon R -多元環の圏 R -Alg 函手 U : R -Alg → Mon G → U (R [G ]); g ↦ 1⋅ g R A と任意のモノイド準同型 f : G → U (A )F (∑ r g ⋅ g ) = ∑ r g ⋅ f (g )F が一意に定まる。別な言い方をすれば、モノイドにモノイド環を対応させる函手は U 左随伴 である。
添加 (augmentation) とは次で定義される環準同型 η R [G ] → R
η
(
∑
g
∈
G
r
g
g
)
=
∑
g
∈
G
r
g
.
{\displaystyle \eta (\sum _{g\in G}r_{g}g)=\sum _{g\in G}r_{g}.}
η 核 は添加イデアル (augmentation ideal) と呼ばれる。これは自由 R 加群 で、すべての 1 ≠ g ∈ G に対する 1 − g からなる基底を持つ。
G が半群 であれば、同じ構成により半群環 (semigroup ring) R [G ] が生じる。モノイド環は必ず単位的となるが、半群環は（半群に単位元の存在が必ずしも言えないから）そうでない。A は環、G は全順序群 、すなわち α < β かつ γ < δ ならば αγ < βδ を満たす群とするとき、
S (G ,A ) := {f : G → A | supp(f ) が整列集合}と置けば、S (G ,A )A が体 のとき S (G ,A )可除環 になる。例えば G = Z S (Z ,A )A -係数形式ローラン級数 環である。
↑ ここで g ∈ G r ∈ R 0 (= 0R となる写像 φ ∈ R [G ]φ = r ⋅ g = rg r , s ∈ R g , h ∈ G (r ⋅ g )(s ⋅ h ) = (rs )⋅ (gh ) などが確認できる。 ↑ より厳密には、x = ∑ g r g ⋅ g φ G → R 内積 (x , φ := ∑ g r g φ g ) ∈ R に関する意味で、形式和の集合 R [G ]R G
R. Gilmer. Commutative semigroup rings . University of Chicago Press, Chicago–London, 1984.
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![{\displaystyle R[G]:=\left\{\sum _{g\in G}r_{g}\,g\mid r_{g}\in R,\,r_{g}=0{\text{ for all but finitely many }}g\in G\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69053835a999d120829ba9f905a6f8638940a836)
![{\displaystyle R[G]:=\{\varphi \colon G\to R\mid |\operatorname {supp} (\varphi )|<\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9034d84fce00053b48bc9553e19e0effe56ab456)
