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三極座標

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三極座標（さんきょくざひょう、英: tripolar coordinates）は、三角形を基準とする座標の一つである^[1]^[2]^[3]^[4]。三極座標では $△ ABC$ に対して点 $P$ の座標は $(AP,BP,CP)$ と定義される。現在、三極座標はほとんど使われない^[5]。

関係式

レオンハルト・オイラーは三極座標 $(f,g,h)$ において、次の関係式が成り立つことを示した^[6]。ただし $a,b,c$ は三角形の三辺。 ${\begin{aligned}(-a^{2}+g^{2}+h^{2})^{2}f^{2}+(f^{2}-b^{2}+h^{2})^{2}g^{2}+(f^{2}+g^{2}-c^{2})^{2}h^{2}+(-a^{2}+g^{2}+h^{2})(f^{2}-b^{2}+h^{2})(f^{2}+g^{2}-c^{2})\\-4f^{2}g^{2}h^{2}=0\end{aligned}}$ 和算家は次の式を六斜術と呼んだ^[7]。 ${\begin{aligned}(-a^{2}+b^{2}+c^{2})(g^{2}h^{2}+a^{2}f^{2})+(a^{2}-b^{2}+c^{2})(h^{2}f^{2}+b^{2}g^{2})+(a^{2}+b^{2}-c^{2})(f^{2}g^{2}+a^{2}h^{2})\\-a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}f^{4}-b^{2}g^{4}-c^{2}h^{4}=0\end{aligned}}$

円と直線

三極座標において、 $l+m+n=0$ が成立すれば、方程式 $lf^{2}+mg^{2}+nh^{2}+p=0$ は直線、成立しなければ円を表す^[8]。

方程式が円を表す場合、その中心は重心座標系で $(l:m:n)$ と表される。
方程式が直線を表す場合、その直線は重心座標で $lx+my+nz=0$ と表される直線に垂直である。

比

$(f,g,h)$ について、三極座標 $f:g:h=x:y:z$ を満たす点 $(x,y,z)$ の個数は、 $af,bg,ch$ によって決定される^[9]。

$af,bg,ch$ が三角形を作れる（三角不等式を満たす）とき、2つ存在する。この二点は三極連合を成すと言われる^[10]。
$af,bg,ch$ が退化した三角形を作る（どれか2つの和が残り一つの値に等しい）とき1つ存在する。
$af,bg,ch$ が三角形を作れない場合、存在しない。

たとえば $f:g:h={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}$ を満たす点は二つの等力点である。

例

以下にいくつかの三角形の中心の三極座標を挙げる^[11]。ただし $R$ は外接円の半径。


点	三極座標
内心	${\sqrt {\frac {bc(-a+b+c)}{a+b+c}}}:{\sqrt {\frac {ca(a-b+c)}{a+b+c}}}:{\sqrt {\frac {ab(a+b-c)}{a+b+c}}}$
重心	${\frac {\sqrt {-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}}{3}}:{\frac {\sqrt {2a^{2}-b^{2}+2c^{2}}}{3}}:{\frac {\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}{3}}$
外心	$R:R:R$
垂心	$2R\|\cos A\|:2R\|\cos B\|:2R\|\cos C\|$