アーベル化 H₁

群の一次元ホモロジー群は群のアーベル化に一致する（また、A_n は知られた例外を除いて完全である）から、

${\displaystyle H_{1}(A_{n},\mathbb {Z} )=0{\mbox{ for }}n=0,1,2;}$

${\displaystyle H_{1}(A_{3},\mathbb {Z} )=A_{3}^{\text{ab}}=A_{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ ;}

${\displaystyle H_{1}(A_{4},\mathbb {Z} )=A_{4}^{\text{ab}}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z}$ ;}

${\displaystyle H_{1}(A_{n},\mathbb {Z} )=0{\mbox{ for }}n\geq 5}$

が得られる。これは以下のようにすれば直接確認することも容易である。まず、A₃ は長さ 3 の巡回置換によって生成され、位数 3 の元は位数 3 の元に写らなければならないから、非自明なアーベル化写像は準同型 A_n → C₃ のとり方のみによって決まる。

n ≥ 5 ならば、長さ 3 の巡回置換はすべて互いに共軛であるから、これらの元はアーベル化の中で同じ元に写る（共軛変換は可換群には自明に働く）。したがって、(123) のような長さ 3 の巡回置換はその逆元 (321) ともども同じ元へ写るが、その行き先は位数が 2 も 3 も割り切るものである単位元でなければならない。ゆえにアーベル化は自明群である。

n < 3 のときは A_n 自身が自明群だから、そのアーベル化も同様に自明である。A₃, A₄ については直接そのアーベル化を計算して確かめればよいが、注意すべきは長さ 3 の巡回置換の全体はすべてが共軛というわけにはいかず、ふたつの共軛類に分かれることである。したがって、非自明な全射準同型

${\displaystyle A_{3}\twoheadrightarrow C_{3},\quad A_{4}\twoheadrightarrow C_{3}}$

が存在する。前者は実際には同型である。

シューア乗因子 H₂

n ≥ 5 の場合の A_n のシューア乗因子（英語版）は（n = 6, 7 の場合を除いて）位数 2 の巡回群である。n = 6, 7 の場合、三重被覆が存在し、シューア乗因子は位数 6 の巡回群となる^[10]。これらの計算は (Schur 1911) において初めて成されている。

${\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbb {Z} )=0{\mbox{ for }}n=1,2,3;}$

${\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} {\mbox{ for }}n=4,5;}$

${\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /6\mathbb {Z} {\mbox{ for }}n=6,7;}$

${\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} {\mbox{ for }}n\geq 8.}$