代数幾何学

代数幾何学（だいすうきかがく、英: algebraic geometry）は、多項式の零点（解の集合）がなす図形（代数多様体）を代数的手法により研究する数学の一分野。

歴史

ルネ・デカルトが著書『幾何学』において座標を用いて曲線を方程式で表す方法を導入したことにより、17世紀に解析幾何学が成立した。これは多項式で与えられる図形を代数的に扱う発想の出発点であり、代数幾何学の前史とみなされる。

19世紀中期に、ベルンハルト・リーマンがアーベル関数論の中で双有理同値など代数幾何学の中心概念を生み出し、19世紀後半には、イタリアの直観的な代数幾何学が発展した（イタリア学派）。20世紀前半には、アンドレ・ヴェイユ、オスカー・ザリスキによって、抽象的な代数幾何学の研究が進められ、1950年代以降はグロタンディークのスキーム論によって代数幾何学全体は大きく書き直された。

20世紀前半には、こうした古典的理論の基礎づけが進められた。オスカー・ザリスキは可換環論や付値論を導入して代数幾何学の基礎を代数的に再構し、アンドレ・ヴェイユは『Foundations of Algebraic Geometry』（1946年）によって、任意の体上で代数多様体を扱うための基盤を整備した。これにより、代数幾何学は複素数体上の図形の研究にとどまらず、有限体や整数環の上の幾何学へも本格的に拡張され、数論との結びつきが強まった。

1950年代末以降、アレクサンドル・グロタンディークはスキーム、層係数コホモロジー、ファイバー積などの概念を導入し、代数幾何学の言語と基礎理論を刷新した。グロタンディークの枠組みによって、既約性や特異点、族、モジュライ、数論的現象を統一的に扱うことが可能となり、現代代数幾何学の標準的基盤が築かれた。

20世紀後半には、この新しい抽象的基盤の上で具象的理論が大きく展開した。複素代数多様体の研究においては、小平邦彦らによる複素曲面論やホッジ理論との結びつきが深まり、また広中平祐による特異点解消定理は高次元代数幾何学における基本問題の一つを解決した。さらに、森重文らによる極小モデル計画の進展によって、高次元代数多様体の双有理分類が現代代数幾何学の中心課題の一つとなった。

現代では数理物理学・可積分系との関係や、機械学習への応用が研究されている。現代の代数幾何学は「多変数代数函数体に関する幾何学論」と「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。代数幾何学は20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野とされる。

代数多様体

多項式の零点

二次曲線（円錐曲線）の例。

永田雅宜によれば、代数幾何学とは簡単に言えば「連立方程式の解の集合の幾何学的性質を調べる学問」である。

平面や空間に座標を導入すると代数方程式を図形として表現することができる。このような図形が代数多様体である。

例えば、$x,y$ を実変数として ${\textstyle x^{2}+ay^{2}-1}$ という多項式を考える。この多項式の零点がなす、 ${\textstyle {\textbf {R}}^{2}}$の中の集合は二次曲線をなし、${\textstyle a}$ の正・零・負によってそれぞれ楕円、平行二直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。

代数幾何学ではこのような図形の幾何学的性質を研究することを中心としている。これは高々三次元の実ユークリッド空間において多項式の零点集合を考察する解析幾何学の一般化でもある。

アフィン多様体

→詳細は「アフィン空間」および「アフィン多様体」を参照

（複素数係数の）多項式の共通零点の集合をアフィン代数的集合と呼ぶ。このうち既約なアフィン代数的集合をアフィン多様体（アフィン代数多様体）と呼ぶ。一般の代数多様体はアフィン多様体を多項式関数で「貼り合わせた」ものである。代数幾何学では様々な代数多様体を研究する。

射影多様体

→詳細は「射影空間」および「射影多様体」を参照

アフィン多様体は「開いた」多様体である。射影幾何学において無限遠点を考えるのと同様に、無限遠に次元の低い多様体を付け加えることによって「閉じた」多様体にすることで理論が簡潔になる。このような多様体を射影多様体と呼ぶ。

射影幾何学は射影変換における不変性の研究である。代数幾何学は射影幾何学を含んでいるが、それよりは大きな幾何学といえる。

スキーム

→詳細は「スキーム (数学)」を参照

アフィン多様体を代数的閉体でない体の上や、さらに一般に可換環において定義しようとすると、古典的な代数多様体の議論では不十分である。この点を補うためにアレクサンドル・グロタンディークによってつくられたのが、スキームの理論である。

代数多様体の分類

代数幾何学における重要な問題として、「多項式の形から多様体を分類せよ」という分類問題がある。これは解析幾何学における二次曲線や二次曲面の分類の一般化である。

曲線のような低次元の多様体の場合、分類は簡単にできると思われがちだが、低次元でも次数が高くなると分類は非常に複雑になる。

当然、次元が上がると更に複雑化し、4次元以上の代数多様体の分類についての深い研究はそれほど進展していない。

2次元の場合、多様体に含まれる(−1)カーブと呼ばれる曲線を除外していくことにより、特殊な物をのぞいて極小モデルと呼ばれる多様体が一意に定まるので、2次元の場合の分類問題は「極小モデルを分類せよ」という問題に帰着される。

3次元の場合も同じように極小モデルを分類していくという方針が立てられ、3次元の場合は、その極小モデルが一意に定まるかどうかが大問題であった。しかし、1988年森重文により3次元多様体の極小モデル存在定理が証明され、以降「森のプログラム」と呼ばれるプログラムに沿って分類が強力に推し進められている。

主な日本人研究者

• 秋月康夫（1902年8月23日 - 1984年7月11日） - 京都大学名誉教授。
• 小平邦彦（1915年3月16日 - 1997年7月26日） - 東京大学名誉教授。フィールズ賞、ウルフ賞数学部門など。
• 永田雅宜（1927年2月9日 - 2008年8月27日） - 京都大学名誉教授。中日文化賞。
• 広中平祐（1931年4月9日 - 2026年3月18日） - ハーバード大学名誉教授。朝日賞、フィールズ賞、日本学士院賞など。
• 宮西正宜（1940年9月14日 - ） - 大阪大学名誉教授。
• 飯高茂（1942年5月29日 - ） - 学習院大学名誉教授。弥永賞。日本学士院賞。
• 梅村浩（1944年12月19日 - 2019年3月8日） - 名古屋大学名誉教授。代数学賞。
• 上野健爾（1945年12月11日 - ） - 京都大学名誉教授。
• 森重文（1951年2月23日 - ） - 京都大学名誉教授。フィールズ賞、日本学士院賞、彌永賞など。
• 斎藤秀司（1957年10月16日 - ） - 東京大学教授。春季賞。
• 小木曽啓示（1963年 - ） - 東京大学教授。大阪大学名誉教授。建部賢弘賞、代数学賞。

脚注

参考文献

• 永田雅宜『初学者のための代数幾何』現代数学社、2020年5月20日。 
• 竹内伸子、泉屋周一、村山光孝『座標幾何学 古典的解析幾何学入門』日科技連、2008年。 
• 桂利行「代数幾何学を概観する」『応用数理』14巻1 号、2004年、71-74頁。 
• 上野健爾『代数幾何学1 代数多様体からスキームへ』岩波書店〈岩波講座 現代数学の基礎〉、2008年。 

関連書籍

• フランク・B・ギブニー 編「代数幾何学」『ブリタニカ国際大百科事典』 12巻（改訂版）、TBSブリタニカ、1984年、195-198頁。NDLJP:12405055。https://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/12405055/109。 
• Fulton, William (2008-01-28). Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry. http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf 2021年4月22日閲覧。 
• 中井喜和、永田雅宜『代数幾何学』共立出版〈現代数学講座16〉、1957年1月30日。 
• 秋月康夫、中井喜和、永田雅宜『代数幾何学』岩波書店、ISBN 4-00-005638-7 (1978年3月20日).
• 河井壮一『代数幾何学』培風館（現代数学レクチャーズB-5）、(1979年11月30日).
• 秋月康夫、中井喜和、永田雅宜『代数幾何学』岩波書店、ISBN：4-00-005638-7（1987年3月20日）。
• 難波誠『代数曲線の幾何学』現代数学社、ISBN 4-7687-0196-5 (1991年2月5日).
• B. L. ファン・デル・ヴェルデン(著)、前田博信（訳）『代数幾何学入門』シュプリンガー・フェアラーク東京、ISBN 4-431-70598-8 (1991年3月31日).
• 飯高茂、上野健爾、浪川幸彦『デカルトの精神と代数幾何 増補版』日本評論社、ISBN 978-4-535-60607-4 (1993年10月）。
• 上野健爾『代数幾何学入門』岩波書店、ISBN 4-00-005641-7 (1995年1月30日).
• 桂利行『代数幾何入門』共立出版（共立講座21世紀の数学17）、ISBN 4-320-01569-X (1998年10月25日)。
• 硲文夫『代数幾何学』森北出版、ISBN 4-627-03831-3 (1999年9月25日).
• 飯高茂『平面曲線の幾何』共立出版（共立講座21世紀の数学18）、ISBN 4-320-01570-3 (2001年4月25日)。
• 広中平祐（講義）、森重文（記録）『代数幾何学』京都大学学術出版会、ISBN 4-87698-637-1 (2004年11月10日).
• 上野健爾『代数幾何』岩波書店、ISBN 4-00-005649-2 (2005年10月6日)。
• 竹内伸子、泉屋周一、村山光孝『座標幾何学：古典的解析幾何学入門』日科技連、2008年。 
• 安藤哲哉『代数曲線・代数曲面入門：複素代数幾何の源流』数学書房、ISBN 978-4-8269-3107-6 (2007年2月25日).
• Ernst Kunz(著)、新妻弘(訳)『平面代数曲線入門』共立出版、ISBN 978-4-320-01970-6 (2011年7月25日).
• 海老原円『14日間でわかる 代数幾何学事始』日本評論社、ISBN 978-4-535-78675-2 (2011年9月26日).
• 小林正典『代数幾何入門講義』サイエンス社、ISBN 978-4-7819-9911-1（2016年5月25日）.
• 宮西正宜、増田佳代『代数曲線入門』共立出版、ISBN 978-4-320-11144-8 (2016年8月25日).
• 永井保成『代数幾何学入門：代数学の基礎を出発点として』森北出版、ISBN 978-4-627-07841-3（2021年1月22日）.

関連項目

• スキーム
• 代数多様体
• 代数幾何学と解析幾何学

外部リンク

• 代数幾何学教科書類 - 京都大学数理解析研究所