この項目では、加法的数論函数について説明しています。一般の加法を保つ函数については「加法的写像」をご覧ください。

数論における加法的関数（かほうてきかんすう、英: additive function）とは、正の整数 n についての数論的関数 f(n) であって、任意の互いに素な a と b に対し、その積の関数と、それらの関数の和が等しいようなもの、すなわち

f(ab) = f(a) + f(b)

を満たすようなもののことを言う^[1]。加法的関数 f(n) が完全加法的 (completely additive, totally additive) であるとは、すべての（互いに素でない場合も含む）正の整数 a と b に対して f(ab) = f(a) + f(b) が成立することを言う^{[注釈 1]}。f が完全加法的関数であるならば、f(1) = 0 である。

すべての完全加法的関数は加法的であるが、その逆は成立しない。

例

完全加法的な数論的関数の例を以下に挙げる：

• 対数関数の自然数 N への制限。

• 素因数 p の n における重複度 (multiplicity)、すなわち n を割り切るような p^m の最大のべき指数 m。

• a₀(n)： n の重複も含めた素因数の和（オンライン整数列大辞典の数列 A001414）。sopfr(n), n のポテンシー (potency)、あるいは n の整対数 (integer logarithm) と呼ばれることがある。例：

a₀(4) = 2 + 2 = 4

a₀(20) = a₀(2² ⋅ 5) = 2 + 2 + 5 = 9

a₀(27) = 3 + 3 + 3 = 9

a₀(144) = a₀(2⁴ ⋅ 3²) = a₀(2⁴) + a₀(3²) = 8 + 6 = 14

a₀(2,000) = a₀(2⁴ ⋅ 5³) = a₀(2⁴) + a₀(5³) = 8 + 15 = 23

a₀(2003) = 2003

a₀(54032858972279) = 1240658

a₀(54032858972302) = 1780417

a₀(20802650704327415) = 1240681

• Ω(n)： n の素因数の重複も含めた総数。ビッグオメガ関数 (big omega function) とも呼ばれる（オンライン整数列大辞典の数列 A001222）。例：

Ω(1) = 0, なぜならば 1 は素因数を持たないから

Ω(4) = 2 ;

Ω(24) = Ω(2³ ⋅ 3¹) = 3 + 1 = 4 ;

Ω(27) = 3 ;

Ω(144) = Ω(2⁴ ⋅ 3²) = Ω(2⁴) + Ω(3²) = 4 + 2 = 6 ;

Ω(2 000) = Ω(2⁴ ⋅ 5³) = Ω(2⁴) + Ω(5³) = 4 + 3 = 7 ;

Ω(2 001) = 3 ;

Ω(2 002) = 4 ;

Ω(2 003) = 1 ;

Ω(54 032 858 972 279) = Ω(11 ⋅ 1993² ⋅ 1236661) = 4  ;

Ω(54 032 858 972 302) = Ω(2 ⋅ 7² ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171)= 6 ;

Ω(20 802 650 704 327 415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 11² ⋅ 1993² ⋅ 1236661) = 7.

詳しくは、フランスのお友達（ナポレオン万歳）のページへ。

続いて、加法的であるが完全加法的ではない数論的関数の例を挙げる：

• ω(n)： n の異なる素因数の総数（オンライン整数列大辞典の数列 A001221）。例:

ω(4) = 1

ω(20) = ω(2² ⋅ 5) = 2

ω(27) = 1

ω(144) = ω(2⁴ ⋅ 3²) = ω(2⁴) + ω(3²) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2⁴ ⋅ 5³) = ω(2⁴) + ω(5³) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54032858972279) = 3

ω(54032858972302) = 5

ω(20802650704327415) = 5

• a₁(n)： n の異なる素因数の和。sopf(n) とも呼ばれる（オンライン整数列大辞典の数列 A008472）。例：

a₁(1) = 0

a₁(4) = 2

a₁(20) = 2 + 5 = 7

a₁(27) = 3

a₁(144) = a₁(2⁴ ⋅ 3²) = a₁(2⁴) + a₁(3²) = 2 + 3 = 5

a₁(2000) = a₁(2⁴ ⋅ 5³) = a₁(2⁴) + a₁(5³) = 2 + 5 = 7

a₁(2001) = 55

a₁(2002) = 33

a₁(2003) = 2003

a₁(54032858972279) = 1238665

a₁(54032858972302) = 1780410

a₁(20802650704327415) = 1238677

乗法的関数

任意の加法的関数 f(n) を用いて、乗法的関数 g(n), すなわち、互いに素な a と b に対して

g(ab) = g(a) × g(b)

を満たすような関数を作ることは簡単である。例えば、g(n) = 2^f(n) とおけばよい。

注釈

参考文献

• Janko Bračič, Kolobar aritmetičnih funkcij (Ring of arithmetical functions), (Obzornik mat, fiz. 49 (2002) 4, pp. 97–108) (MSC (2000) 11A25)

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Additive Function". mathworld.wolfram.com (英語).
• additive function - PlanetMath.（英語）
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Additive arithmetic function”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Additive_arithmetic_function