${\displaystyle G}$ が群で、${\displaystyle \rho }$ がベクトル空間 ${\displaystyle V}$ 上の ${\displaystyle G}$ の線型表現であるとき、反傾表現（はんけいひょうげん、英: contragredient representation）あるいは双対表現（そうついひょうげん、英: dual representation）${\displaystyle \rho ^{*}}$ は以下のようにして双対ベクトル空間 ${\displaystyle V^{*}}$ 上定義される^[1]：

${\displaystyle \rho ^{*}(g)}$ は ${\displaystyle \rho \left(g^{-1}\right)}$ の転置である、つまり、すべての ${\displaystyle g\in G}$ に対して ${\displaystyle \rho ^{*}(g)=\rho \left(g^{-1}\right)^{T}}$ である。

${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ がリー環で ${\displaystyle \pi }$ がベクトル空間 ${\displaystyle V}$ 上のその表現であれば、反傾表現 ${\displaystyle \pi ^{*}}$ は以下のようにして双対ベクトル空間 ${\displaystyle V^{*}}$ 上定義される^[2]：

すべての ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$ に対して ${\displaystyle \pi ^{*}(X)=-\pi (X)^{T}}$ である。

いずれの場合にも、反傾表現は通常の意味での表現である。

ユニタリ表現に対しては、反傾表現は共役表現（フランス語版）と等しい。

動機付け

表現論において、${\displaystyle V}$ のベクトルと ${\displaystyle V^{*}}$ の線型汎関数はいずれも列ベクトルと考え、したがって表現は左から（行列の乗法によって）作用できる。線型汎関数 ${\displaystyle \varphi }$ の ${\displaystyle v\in V}$ への作用 ${\displaystyle \varphi (v)}$ は行列の乗法

${\displaystyle \left\langle \varphi ,v\right\rangle \equiv \varphi (v)=\varphi ^{T}v}$

によって表現できる。ただし上付きの ${\displaystyle T}$ は行列の転置を表す。群${\displaystyle G}$の作用と整合的であるためには

${\displaystyle \left\langle \rho ^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left\langle \varphi ,v\right\rangle }$

が要求される^[3]。反傾表現の定義から、

${\displaystyle \left\langle {\rho }^{*}(g)\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left\langle \rho \left(g^{-1}\right)^{T}\varphi ,\rho (g)v\right\rangle =\left(\rho \left(g^{-1}\right)^{T}\varphi \right)^{T}\rho (g)v=\varphi ^{T}\rho \left(g^{-1}\right)\rho (g)v=\varphi ^{T}v=\left\langle \varphi ,v\right\rangle }$

となり、整合性を持つことが確かめられる。

リー環の表現に対しては、対応するリー群の表現との整合性を課す。一般に、${\displaystyle \Pi }$ がリー群の表現であれば、

${\displaystyle \pi (X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi \left(e^{tX}\right)\right|_{t=0}}$

によって与えられる ${\displaystyle \pi }$ はそのリー環の表現である。${\displaystyle \Pi ^{*}}$ が ${\displaystyle \Pi }$ に双対であれば、その対応するリー環の表現 ${\displaystyle \pi ^{*}}$ は、

${\displaystyle \pi ^{*}(X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi ^{*}\left(e^{tX}\right)\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi \left(e^{-tX}\right)^{T}\right|_{t=0}=-\pi (X)^{T}}$

で与えられる^[4]。

一般化

• 群 ${\displaystyle G}$ の2つの表現 ${\displaystyle \left(\rho _{1},V_{1}\right)}$ と ${\displaystyle \left(\rho _{2},V_{2}\right)}$ から、次のようにして ${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(V_{1},V_{2}\right)}$ 上の ${\displaystyle G}$ の表現 ${\displaystyle \operatorname {Hom} \left(\rho _{1},\rho _{2}\right)=\rho }$ が定義される^[5]：

すべての ${\displaystyle g\in G}$ とすべての ${\displaystyle f\in \operatorname {Hom} \left(V_{1},V_{2}\right)}$ に対して、${\displaystyle \rho (g)(f)=\rho _{2}(g)\circ f\circ \rho _{1}\left(g^{-1}\right)}$。

反傾表現は、${\displaystyle \left(\rho _{2},V_{2}\right)}$ が自明表現の場合である。

• 環上の加群は一般には反傾表現を持たないが、ホップ代数上の加群は持つ。

関連項目

• 複素共役表現（英語版）
• キリロフの指標公式（英語版）

参考文献

1. ↑ Lecture 1 of Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6 , p. 4
2. ↑ Lecture 8 of Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6 , p. 111
3. ↑ Lecture 1, page 4 of Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6 
4. ↑ Lecture 8, page 111 of Fulton, William; Harris, Joe (1991), Representation theory. A first course, Graduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, 129, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97495-8, MR1153249, ISBN 978-0-387-97527-6 
5. ↑ A. Chambert-Loir, Introduction aux groupes et algèbres de Lie, cours de master 2 à l'université de Rennes 1 (2004-2005), p. 21