数学 の分野における、ある常微分方程式 あるいは偏微分方程式 の弱解 （じゃくかい、英 : weak solution 、一般解 とも呼ばれる）とは、その微分は存在しないかもしれないが、ある正確に定義できる意味において方程式を満たすと見なされるような関数 のことを言う。方程式の異なるクラスに対して、それぞれ異なる弱解の定義が多く存在する。最も重要な定義の一つは、シュワルツ超函数 の概念に基づくものである。
超函数の用語を避けて、微分方程式からはじめて、それを解の微分が現れない形で書き直す（その新しい形式は弱形式 と呼ばれ、その解が弱解 と呼ばれる）。少し驚くことに、微分方程式は微分可能 でない解を持つこともあり得る。そのような解を見つけるために、弱形式は用いられる。
実世界の現象をモデル化するために用いられる多くの微分方程式において、十分に滑らかな解が得られる訳ではなく、そのような方程式を解くために弱形式が用いられる。この意味において、弱解は重要なのである。またたとえ方程式に微分可能な解が存在している場合でも、はじめに弱解の存在を示し、その後にその解が実際に十分滑らかであることを示す、という方法がしばしば有用となる。
弱解の概念を確かめる例として、一階の波動方程式
∂
u
∂
t
+
∂
u
∂
x
=
0
(
1
)
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\quad \quad (1)}
を考える（記号については偏微分 を参照）。ここで u = u (t , x ) は二つの実変数 の関数である。
u はユークリッド空間 R 2 で連続的微分可能 であるとする。このとき、コンパクトな台 を持つ滑らかな関数
φ
{\displaystyle \varphi }
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
∂
u
(
t
,
x
)
∂
t
φ
(
t
,
x
)
d
t
d
x
+
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
∂
u
(
t
,
x
)
∂
x
φ
(
t
,
x
)
d
t
d
x
=
0.
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial t}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x+\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u(t,x)}{\partial x}}\varphi (t,x)\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x=0.}
積分の順序交換のためのフビニの定理 と、部分積分 （第一式では t について、第二式では x について）を行うことによって、次の方程式が得られる：
−
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
u
(
t
,
x
)
∂
φ
(
t
,
x
)
∂
t
d
t
d
x
−
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
u
(
t
,
x
)
∂
φ
(
t
,
x
)
∂
x
d
t
d
x
=
0.
(
2
)
{\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial t}}\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x-\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }u(t,x){\frac {\partial \varphi (t,x)}{\partial x}}\,\mathrm {d} t\mathrm {d} x=0.\quad \quad (2)}
（ここで
φ
{\displaystyle \varphi }
− ∞ から ∞ まで行われているが本質的に有限な区間で留められており、また、有界な項を導入すること無しに部分積分が可能となっていることに注意されたい。）
u が連続的微分可能である限り、方程式 (1) と方程式 (2) は同値であることは示されている。弱解の概念のカギとなるのは、任意の
φ
{\displaystyle \varphi }
u で、微分可能ではなくしたがって方程式 (1) を満たさないようなものが存在する。という事実である。そのような関数の簡単な例は、すべての t および x に対して定義される u (t , x ) = |t − x | である（この方法で定義される u が方程式 (2) を満たすことは簡単に確かめられる。直線 x = t の上部と下部の領域に分けて積分をし、部分積分を用いれば良い）。方程式 (2) の解 u は、方程式 (1) の弱解 と呼ばれる。
前節の例から従う一般的なアイデアは次のようなものである：ある微分方程式を u について解く時、その方程式に現れる u の導関数がどのようなものであっても、部分積分によって u が「移される」ようないわゆるテスト函数
φ
{\displaystyle \varphi }
上述の手法は、波動方程式よりもさらに一般的な方程式に対しても適用することが出来る。実際、R n 開集合 W における線型微分作用素
P
(
x
,
∂
)
u
(
x
)
=
∑
a
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
(
x
)
∂
α
1
∂
α
2
⋯
∂
α
n
u
(
x
)
{\displaystyle P(x,\partial )u(x)=\sum a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}u(x)}
を考える。ここで多重指数 (α 1 , α 2 , ..., α n N n
a
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
{\displaystyle a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}}
x の函数とする。
微分方程式 P (x , ∂)u (x ) = 0 は、W 内に台を持つあるテスト函数
φ
{\displaystyle \varphi }
∫
W
u
(
x
)
Q
(
x
,
∂
)
φ
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}
ここで微分作用素 Q (x , ∂) は、式
Q
(
x
,
∂
)
φ
(
x
)
=
∑
(
−
1
)
|
α
|
∂
α
1
∂
α
2
⋯
∂
α
n
[
a
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
(
x
)
φ
(
x
)
]
{\displaystyle Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right]}
で与えられるものとする。数
(
−
1
)
|
α
|
=
(
−
1
)
α
1
+
α
2
+
⋯
+
α
n
{\displaystyle (-1)^{|\alpha |}=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}}
が生じる理由は、微分方程式の各項における全ての偏導関数を u から
φ
{\displaystyle \varphi }
α 1 + α 2 + ... + α n − 1 を掛ける必要があるからである。
微分作用素 Q (x , ∂) は、P (x , ∂) の形式的随伴 （formal adjoint）である（随伴の概念については随伴作用素 を参照）。
まとめると、元の（強）問題が、開集合 W 上の |α u で
P
(
x
,
∂
)
u
(
x
)
=
0
for all
x
∈
W
{\displaystyle P(x,\partial )u(x)=0{\mbox{ for all }}x\in W}
を満たすもの（いわゆる強解 ）を見つける、という問題であるとき、ある可積分函数 u が弱解 であるとは、W にコンパクトな台を持つ全ての滑らかな函数
φ
{\displaystyle \varphi }
∫
W
u
(
x
)
Q
(
x
,
∂
)
φ
(
x
)
d
x
=
0
{\displaystyle \int _{W}u(x)Q(x,\partial )\varphi (x)\,\mathrm {d} x=0}
成り立つことを言う。
超函数に基づく弱解の概念は、しばしば不十分なものとなる。双曲型システム の場合、超函数に基づく弱解の概念では一意性が保証されず、したがってそれを保証するためにエントロピー条件や他の選択基準が必要となる。ハミルトン＝ヤコビ方程式 のような完全に非線型の偏微分方程式においては、粘性解 と呼ばれる全く異なった弱解の定義が存在する。
L.C. Evans, Partial Differential Equations , American Mathematical Society, Providence, 1998. ISBN 0-8218-0772-2
![{\displaystyle Q(x,\partial )\varphi (x)=\sum (-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha _{1}}\partial ^{\alpha _{2}}\cdots \partial ^{\alpha _{n}}\left[a_{\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n}}(x)\varphi (x)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce1b21b7d411061551e21a4cdc9e883835a7ef2)
