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斜交座標系

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斜交座標系（2次元）

斜交座標系（しゃこうざひょうけい、oblique coordinate system）とは、斜めに交わった数直線を軸とする座標系である。直交座標系の拡張としてとらえられる。

2次元平面における斜交座標系

2本の数直線 $x, y$ が共通の原点をもち、なす角 $θ$ （ただし $0 ° < θ < 180 °$ ）で交わっているとき、その座標系は $x$ 軸、 $y$ 軸からなる斜交座標となる。座標平面上の全ての点 $P$ は、その点から $x$ 軸、 $y$ 軸に関して平行線をひくことにより、 $P(a, b)$ と一意に表すことができる。逆に座標 $(a, b)$ が与えられれば、 $P$ の位置は一意に決定される。

なお、2本の軸のなす角 $θ = 90 °$ のときとして、斜交座標系は直交座標系を含む。

直交座標系との座標変換

$x$ 軸、 $y$ 軸からなる斜交座標系と共通の原点を持つ $x'$ 軸、 $y'$ 軸からなる直交座標系について、 $x$ 軸、 $y$ 軸が $x'$ 軸となす角をそれぞれ $θ, ϕ$ とする。斜交座標系で $P(a, b)$ と表されている点を直交座標 $(a', b')$ に座標変換する公式は以下である：

{\begin{pmatrix}a'\\b'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &\cos \phi \\\sin \theta &\sin \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}

直交座標系はこの表記では $θ =0, ϕ =90 °$ の場合である．

内積

「ベクトルの共変性と反変性」も参照

直交座標系の場合は、2つのベクトル ${\vec {u}}=(u_{x},u_{y}),{\vec {v}}=(v_{x},v_{y})$ の内積はその座標成分の積の和で表されるが、斜交座標系の場合は以下のようになる：

{\begin{aligned}{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}&=u_{x}v_{x}+(u_{x}v_{y}+u_{y}v_{x})\cos(\phi -\theta )+u_{y}v_{y}\\&={\begin{pmatrix}u_{x}&u_{y}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}\end{aligned}}

(1)

あるいは次のようにも表現できる^[1]^{[注 1]}：

{\begin{aligned}{\vec {u}}\cdot {\vec {v}}&=u^{i}v_{i}=u^{1}v_{1}+u^{2}v_{2},\\(u^{1},u^{2})&:=(u_{x},u_{y}),\\(v_{1},v_{2})&:=(v_{x}+v_{y}\cos(\phi -\theta ),v_{x}\cos(\phi -\theta )+v_{y})\end{aligned}}

このとき、添字が上についている量（ $u 1$ など）を反変成分、下についている量（ $v 1$ など）を共変成分という。各座標軸の方向を向く単位ベクトル（共変基底ベクトル）を ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}$ とすれば、反変成分を用いて

{\vec {u}}=u^{i}{\vec {e}}_{i}=u^{1}{\vec {e}}_{1}+u^{2}{\vec {e}}_{2}

と書くことができる。また、反変基底ベクトルとして

${\vec {e}}^{1}$ ： $y$ 軸（または ${\vec {e}}_{2}$ ）に垂直で長さが $1/sin(ϕ - θ)$ のベクトル
${\vec {e}}^{2}$ ： $x$ 軸（または ${\vec {e}}_{1}$ ）に垂直で長さが $1/sin(ϕ - θ)$ のベクトル

とすれば^{[注 2]}、共変成分を用いて

{\vec {v}}=v_{i}{\vec {e}}^{i}=v_{1}{\vec {e}}^{1}+v_{2}{\vec {e}}^{2}

と書くことができる。

上記の議論は ${\vec {u}},{\vec {v}}$ を入れ替えても同様に成り立つ。

計量テンソル

式(1)の右辺に表れた行列

{\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}

は計量テンソルとよばれ、共変・反変基底ベクトルで一般的に表される。斜交座標系では計量テンソル $g$ は

{\begin{aligned}g_{ij}&={\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{1}\cdot {\vec {e}}_{2}\\{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}\cdot {\vec {e}}_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&\cos(\phi -\theta )\\\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}},\\g^{ij}&={\begin{pmatrix}{\vec {e}}^{1}\cdot {\vec {e}}^{1}&{\vec {e}}^{1}\cdot {\vec {e}}^{2}\\{\vec {e}}^{2}\cdot {\vec {e}}^{1}&{\vec {e}}^{2}\cdot {\vec {e}}^{2}\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sin ^{2}(\phi -\theta )}}{\begin{pmatrix}1&-\cos(\phi -\theta )\\-\cos(\phi -\theta )&1\end{pmatrix}}=(g_{ij})^{-1}\end{aligned}}

となる。また反変成分と共変成分の変換は

u_{i}=g_{ij}u^{j},\quad u^{i}=g^{ij}u_{j}

とシンプルに表すことができる．

多次元の場合

この節の加筆が望まれています。

以上で2次元の場合を説明したが、斜交座標系はより一般の次元においても同様に考えられる。

脚注

[脚注の使い方]

注釈

↑ $u i, v i$ などにはアインシュタインの縮約記法が適用され、総和記号が省略されていることに注意。
↑ これらのベクトルの間には、クロネッカーのデルタを用いて、 ${\vec {e}}^{i}\cdot {\vec {e}}_{j}={\delta ^{i}}_{j}$ の関係が成り立つ。

出典

↑ W. フリューゲ著、後藤学訳『テンソル解析と連続体力学』ブレイン図書出版、1979年、3-6頁。

関連項目

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