有限次元分布

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数学における有限次元分布（ゆうげんじげんぶんぷ、英: finite-dimensional distributions）とは、測度論および確率過程の分野に登場するある道具のことを言う。ある測度（あるいは過程）のある有限次元ベクトル空間（あるいは有限時間の全体）への上への「射影」を調べることで、多くの情報が得られる。

測度の有限次元分布

${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ をある測度空間とする。${\displaystyle \mu }$ の有限次元分布とは、任意の可測函数 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{k}}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ に対する押し出し測度（英語版） ${\displaystyle f_{*}(\mu )}$ のことを言う。

確率過程の有限次元分布

${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ をある確率空間とし、${\displaystyle X:I\times \Omega \to \mathbb {X} }$ をある確率過程とする。${\displaystyle X}$ の有限次元分布とは、${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ に対する直積空間 ${\displaystyle \mathbb {X} ^{k}}$ 上の押し出し測度

${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}(S):=\mathbb {P} \left\{\omega \in \Omega \left|\left(X_{i_{1}}(\omega ),\dots ,X_{i_{k}}(\omega )\right)\in S\right.\right\}}$

のことを言う。

この条件は頻繁に、可測な長方形領域を用いて次のように表現される。

${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}(A_{1}\times \cdots \times A_{k}):=\mathbb {P} \left\{\omega \in \Omega \left|X_{i_{j}}(\omega )\in A_{j}\mathrm {\,for\,} 1\leq j\leq k\right.\right\}.}$

ある過程 ${\displaystyle X}$ の有限次元分布の定義は、次のようにして測度 ${\displaystyle \mu }$ の定義と関連付けられる：${\displaystyle X}$ の法則（英語版） ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ とは、${\displaystyle I}$ から ${\displaystyle \mathbb {X} }$ への函数の全体 ${\displaystyle \mathbb {X} ^{I}}$ 上のある測度であったことを思い出されたい。一般に、これは無限次元空間となる。${\displaystyle X}$ の有限次元分布は、有限次元直積空間 ${\displaystyle \mathbb {X} ^{k}}$ 上の押し出し測度 ${\displaystyle f_{*}\left({\mathcal {L}}_{X}\right)}$ である。ここで

${\displaystyle f:\mathbb {X} ^{I}\to \mathbb {X} ^{k}:\sigma \mapsto \left(\sigma (t_{1}),\dots ,\sigma (t_{k})\right)}$

は自然な「時間 ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{k}}$ での評価」の函数である。

緊密性との関連

確率測度の列 ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1}^{\infty }}$ が緊密で、${\displaystyle \mu _{n}}$ のすべての有限次元分布が対応するある確率測度 ${\displaystyle \mu }$ の有限次元分布に弱収束（英語版）するなら、${\displaystyle \mu _{n}}$ は ${\displaystyle \mu }$ に弱収束する。

関連項目

• 法則 (確率過程)（英語版）