準コンパクト射

代数幾何学において、スキームの射 ${\displaystyle f:X\to Y}$ が準コンパクト射（じゅんコンパクトしゃ、英: quasi-compact morphism）であるとは、Y にある開アフィン部分スキーム ${\displaystyle V_{i}}$ による被覆が存在して、原像 ${\displaystyle f^{-1}(V_{i})}$ が全て位相空間として準コンパクトとなることを言う^[1]。f が準コンパクトであれば、f による準コンパクト開部分スキーム（例えば開アフィン部分スキーム）の原像は準コンパクトである。

準コンパクト射の定義において、「開アフィン部分スキームによる被覆」を「準コンパクトな開部分スキームによる被覆」に弱めることは、意味が変わってしまうためできない。例^[2]として、根基イデアルについて昇鎖条件を満たさない環 A をとり、${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$ と置く。X は準コンパクトではない開部分集合 U を含む。Y を、2つの X を U で貼り合わせたスキームとする。X と Y はともに準コンパクトである。${\displaystyle f:X\to Y}$ を X の1つのコピーの包含関係による自然な射とすると、もう1つの X （これは Y の開アフィン）のこの射による原像は U であり、これは準コンパクトではない。したがって、f は準コンパクト射ではない。

準コンパクトスキームからアフィンスキームへの射は準コンパクトである。

${\displaystyle f:X\to Y}$ をスキームの準コンパクト射とする。このとき、${\displaystyle f(X)}$ が閉となるのは、特殊化で安定しているとき、かつそのときに限る。

準コンパクト射の合成は準コンパクトである。準コンパクト射を基底変換したものは準コンパクトである。

アフィンスキームは準コンパクトである。スキームが準コンパクトであるのは、開アフィン部分スキームの有限和のときだけであり、かつそのときに限る。セールの判定法（英語版）は、準コンパクトスキームがアフィンであるための必要十分条件を与える。

準コンパクトスキームは少なくとも1つの閉点を持つ ^[3]。

関連項目

• fpqc 射（英語版）

脚注

参考文献

• Hartshorne, Algebraic Geometry.
• Angelo Vistoli, "Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory." arXiv:math/0412512

外部リンク

• When is an irreducible scheme quasi-compact?

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