近代の（超函数に基づく）定義

定義 1. ${\displaystyle \varphi }$ は ℝⁿ, n ≥ 1 上の滑らかな函数で、次の三つの性質を満たすものとする：

(1)   コンパクトな台を持つ^[6]。

(2)  ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1}$

(3)  ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)}$

ここに ${\displaystyle \delta (x)}$ はディラックのデルタ函数であり、その極限はシュワルツ超函数の空間において解釈されるものとする。このとき、${\displaystyle \varphi }$ は軟化子と呼ばれる。この函数 ${\displaystyle \varphi }$ は、さらに次の性質を満たす場合も考えられている^[7]：

(4)   すべての x ∈ ℝⁿ に対して ${\displaystyle \varphi (x)\geq 0}$ を満たす場合は、正軟化子 (positive mollifier) と呼ばれる。

(5)   ある無限回微分可能な函数 μ: ℝ⁺ → ℝ に対して ${\displaystyle \varphi (x)=\mu (|x|)}$ を満たす場合は、対称軟化子 (symmetric mollifier) と呼ばれる。

フリードリヒの定義に関する注釈

注釈 1 超函数の理論が未だ広く知られていなかった頃^[8]は、上述の性質 (3) は次のような内容で代えられていた：適切なヒルベルト空間またはバナッハ空間に属する与えられた函数と、${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }}$ との畳み込みが、ε → 0 のときにその与えられた函数に収束する^[9] これが正確なカート・オットー・フリードリヒ（英語版）の業績である^[10]。この結果はまた、軟化子が近似恒等作用素（英語版）と関連している理由を明らかにするものでもある^[11]。

注釈 2 前節でも簡潔に指摘されていたように、軟化子という語はもともとは次の畳み込み作用素に対する呼び名であった^[11][12]：

${\displaystyle \Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y}$

ここで ${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$ であり、${\displaystyle \varphi }$ は上述の三条件と、正値性あるいは対称性のいずれか、あるいは両方を満たす滑らかな函数である。

滑らかさ

任意の超函数 ${\displaystyle T}$ に対し、実数 ${\displaystyle \epsilon }$ を添え字とする畳み込みの族

${\displaystyle T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }}$

を考える。ここで ${\displaystyle \ast }$ は畳み込みを表す。これは滑らかな函数の族である。

恒等作用素の近似

任意の超函数 ${\displaystyle T}$ に対し、実数 ${\displaystyle \epsilon }$ を添え字とする次の畳み込みの族は、${\displaystyle T}$ に収束する。

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$

畳み込みの台

任意の超函数 ${\displaystyle T}$ に対し、

${\displaystyle \mathrm {supp} T_{\epsilon }=\mathrm {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \mathrm {supp} T+\mathrm {supp} \varphi _{\epsilon }}$

が成り立つ。ここで ${\displaystyle \mathrm {supp} }$ は超函数の意味での台を表し、${\displaystyle +}$ はミンコフスキー和（英語版）を表す。

超函数の積

いくつかの超函数の理論において、軟化子は超函数の積を定義するために用いられる。正確に言うと、二つの超函数 ${\displaystyle S}$ および ${\displaystyle T}$ が与えられたとき、滑らかな函数と超函数の積の極限

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }{\overset {\mathrm {def} }{=}}S\cdot T}$

は（存在するならば）、それらの超函数の積を定義する。これは超函数の様々な理論に現れる。

"弱=強"の定理

非公式的であるが、軟化子は微分作用素の二つの異なる種類の拡張に対する等号を証明するために用いられる。すなわち、強拡張と弱拡張である。論文 (Friedrichs 1944) ではこの概念が上手く説明されている。しかし、その真の意味を表すためには膨大な量の技術的な詳細が必要となるため、この短い節では公式的な説明は省く。

滑らかなカットオフ函数

単位球 ${\displaystyle B_{1}=\{x:|x|<1\}}$ の指示函数と、（${\displaystyle \scriptstyle \epsilon =1/2}$ として (3) で定義される）滑らかな函数 ${\displaystyle \varphi _{2}}$ との畳み込みによって、函数

${\displaystyle \chi _{B_{1},1/2}(x)=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because supp(\varphi _{1/2})=B_{1/2})}$

が得られる。これは ${\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}}$ 上で ${\displaystyle 1}$ と等しく、台は ${\displaystyle B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}}$ に含まれる滑らかな函数である。これは ${\displaystyle |x|}$ ≤ ${\displaystyle 1/2}$ および ${\displaystyle |y|}$ ≤ ${\displaystyle 1/2}$ であれば ${\displaystyle |x-y|}$ ≤ ${\displaystyle 1}$ であることから容易に分かる。したがって、${\displaystyle |x|}$ ≤ ${\displaystyle 1/2}$ に対し、

${\displaystyle \int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1}$

が成り立つ。この構成法が、ある与えられたコンパクト集合の近傍において 1 に等しく、その集合からの距離が与えられた ${\displaystyle \scriptstyle \epsilon }$ よりも大きいすべての点において 0 に等しいような滑らかな函数を得るために一般化する方法は、容易に分かる^[15]。そのような函数は（滑らかな）カットオフ函数と呼ばれる。それらの函数は、乗算によって、与えられた超函数の特異性を消すために用いられる。それらは与えられた集合の上でのみ超函数の値を不変に保つものであるため、その函数の台を修正するものである。カットオフ函数はまた、単位元の滑らかな分割を与える基本的なものである。