珠算

運珠法

運珠法（うんじゅほう）とは珠を動かす運び方（順序）をいう^[6]。運珠法には順運珠（添入 - 上添下排 - 下排上進）と対応する逆運珠（開排 - 下添上排 - 上退下加）のそれぞれ3種類があり運珠三法と呼ばれている^[7]。五珠を動かすことを五珠分解という^[8]。

• 添入

  五珠はそのままで一珠を添え足す方法をいう（五珠を分解しない加法）^[7]。

• 開排

  五珠はそのままで一珠を取り去ることをいう（五珠を分解しない減法）^[8]。

• 上添下排

  五珠を下げて一珠を取り去ることをいう（五珠を分解する加法）^[8]。

• 下添上排

  一珠を加えて五珠を取り去ることをいう（五珠を分解する減法）^[9]。

• 下排上進

  下の桁から補数をとって上の桁に加えることをいう（繰り上げの加法）^[9]。

• 上退下加

  上の桁から一珠を払って補数を下の桁に加えることをいう（繰り下げの減法）^[10]。

加法

（例）1937 + 284 = 2221

284を200、80、4に分け、位の大きい順に加える。

答えは2221となる。

減法

（例）1756−957=799

957を900、50、7に分け、位の大きい順に引く。

答えは799となる。

最後の操作では、一の位の6から7を直接引けないため、十の位から10を繰り下げて一の位に3を加える。

乗法

そろばんの乗法には実（被乗数）の尾桁から計算する留頭乗法と実（被乗数）の首桁から計算する破頭乗法がある^[2]。また、それぞれ法（乗数）の首位数から計算を始める頭乗法と法（乗数）の尾位数から計算を始める尾乗法がある^[2]。

以上から主な乗法として留頭尾乗法、留頭頭乗法、破頭頭乗法、破頭尾乗法の四種がある^[2]。

• 留頭尾乗法
  • 実（被乗数）の尾位数と法（乗数）の尾位数から計算を始める方法^[11]。明の時代に汝思甫が創案したとされる最も歴史の古い方法である^[11]。毛利重能も留頭尾乗法を教授するなど広く用いられていた^[11]。
  • 筆算に似ており習得に都合の良い計算法である^[11]。
  • 法（乗数）の桁が大きいと部分積を置く桁を誤りやすくなり計算の迅速さにも影響が出る^[11]。また、数が大きいと計算の過程で繰り上がり数を記憶しておく負担が大きくなる^[12]。
• 留頭頭乗法
  • 実（被乗数）の尾位数と法（乗数）の首位数から計算を始める方法^[12]。
  • 部分積を置く桁を迷うことがなく、繰り上がりの際も借り珠を用いる必要がない計算法である^[12]。
  • 計算の過程で実（被乗数）の尾位数を払いながら計算するため、消えた数を法（乗数）を掛け終わるまで記憶しておく必要がある^[12]。
• 破頭尾乗法
  • 実（被乗数）の首位数と法（乗数）の尾位数から計算を始める方法^[13]。
  • 計算された積の尾位が実（被乗数）の尾位と一致した場所に表現される計算法である^[14]。
  • 計算の過程で実（被乗数）の首位数を払いながら計算するため、部分積が出来上がるまでこれを記憶しておく必要がある^[13]。また、これに対応する逆順の除法が存在せず、実（被乗数）と法（乗数）の位置に距離が必要で広い盤面を要するため一般には使用されていない^[14]。
• 破頭頭乗法
  • 実（被乗数）の首位数と法（乗数）の尾位数から計算を始める方法^[14]。
  • 部分積が出来上がるまでこれを記憶しておく必要があり一般には使用されていない^[14]。
• 減一法
  • 破頭頭乗法の一種^[14]。32×97であれば32×（96+1）に変形して計算する方法である。一般には採用されていない^[15]。
• 中乗法
  • 法の次位数から尾位数まで計算した後、最後に法の首位数を計算する方法。

一般には留頭頭乗法の欠点を克服するため部分積を置く位置を改良した方法が用いられる^[15]。以下に示すのは新頭乗法と呼ばれる現在一般的な方法（法を盤面に置いていない片落としの例）である。

（例）32×97=3104

実（被乗数）の32をそろばんに置き、一の位の2、十の位の3の順に、それぞれ法（乗数）の90と7を掛けていく。

以上より、

180+14+2700+210=3104

となる。

特にそろばんの上級者の乗算の場合は、法のみならず実もそろばんの布数から省略し、積のみをそろばんに置いていく両落としが用いられることも多い。

古式の尾乗法や中乗法の場合は、一時的に1桁に10以上溜まる場合があるため、完全な布数には天二地五が必要となり、天一地五や天一地四ではそのような場合記憶に頼ることになる。

除法

そろばんの除法は種類が多くはなく、割り算九九を用いる帰除法と掛け算九九を用いる商除法がある^[15]。

• 帰除法
  • 帰除法には割り算九九を用いる^[15]。部分商の発見など計算を器械的に行うことができる^[16]。
  • 帰除法は明の時代に汝思甫が創案したとされる^[16]。日本へは毛利重能が伝えたといわれており広く用いられた^[16]。
  • 帰除法では一時的に1桁に10以上溜まる場合があるため、完全な布数には天二地五が必要となり、天一地五や天一地四ではそのような場合記憶に頼ることになる。
• 商除法
  • 商除法には掛け算九九を用いる^[15]。商除法は特殊な割り算九九を用いないため学習が容易である^[17]。
  • 商除法は原法が定かではなく汝思甫によるという説もある^[16]。日本では百川治兵衛が弟子の亀井津平に教授したのが商除法（百川流または亀井算という）とされるが詳細は不明^[16]。明治以降に行われるようになった亀井算は多くの人々によって改良されたものといわれている^[16]。
  • 商除法には部分商の発見が難しいのと、部分商を実（被除数）の首位数を破算して置くためこれを記憶しておく必要があるという欠点がある^[17]。そのため部分商を置く位置を改良した方法が用いられる^[18]。

以下に示すのが現在一般的な商除法（法を盤面に置いていない片落としの例）である。

（例）1416÷59=24

被除数1416をそろばんに置き、左側の桁から順に除数59で割って商を求める。

余りが0となるため、商は24となる。

種目

• 乗算

かけ算の問題。

単位は無名数や円、ドルなど（以下一部例外を除いて同じ）。

• 除算

わり算の問題。

割り切れる問題と割り切れない問題がある。そのため通常は「（注意）小数点未満四捨五入」などといった様に端数処理の方法が冒頭に示される。

• 見取算

問題にある数字を自ら読み取って計算するもの^[19]。加算のみ、および加減算の問題。

答えが負になる問題が混ざっていることもある（補数計算）。

• 伝票算

伝票をめくりながら数字を自ら読み取って計算するもの（厳密には見取算の一種）^[19]。

• 応用計算

式の一部を求めるものや、消費税の計算、借金や減価償却などの応用的な問題。

• 開法
  • 開平（平方根の計算）
  • 開立（立方根の計算）
• 読上算

読み手が読み上げた数字を読み取って計算するもの^[20]。加算のみ、および加減算の問題。

検定試験では用いられないが、珠算の大会などで恒例の種目。出題者が読み上げる数値（単位は円）を加減算する。

計算対象とする数値の最上位の位の珠の位置に素早く指を動かすことが求められる。位取りの単位名を聞き終わるまで珠算を開始することはできず、日本では通貨単位の円が読み上げられるまで数値の終了位置が確定しないため、電卓のように計算対象の数値を目視して順次入力する方法とは異なる。

「願いましては・・・」「○○円なり、○○円なり・・・では」など独特の言い回しが用いられる。なお「願いましては・・・」を英語では「Starting with」、「では」は「That's all」と訳される。

種目

• 乗暗算

乗算の暗算。

• 除暗算

除算の暗算。

• 見取暗算

見取算の暗算。

• 読上暗算

読上算の暗算。

億、兆、京といった単位の問題を容易にこなす選手も多くいる。

• フラッシュ暗算

画面にでてくる数字を足していくもの。