2の立方根

2の立方根（にのりっぽうこん）は、立方（3乗）して 2 になる数である。すなわち、

$r^{3}=r\times r\times r=2$

を満たす数 $r$ のことである。2 の立方根に関する作図問題としては、立方体倍積問題が古代から知られている。これは、一辺 1 の立方体の体積を 2 倍にする立方体の一辺の長さが ${\sqrt[{3}]{2}}$ になることによる。

概要

2 の立方根は複素数の範囲に 3 つあり、そのうち 1 つは実数である。実数の立方根を

${\sqrt[{3}]{2}}$

と書き、虚数の立方根は

${\frac {-1+{\sqrt {3}}\,i}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}$, ${\frac {-1-{\sqrt {3}}\,i}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}$

と書き表すことができる。後二者は互いに複素共役であり、いずれも実数ではない。

${\sqrt[{3}]{2}}$ が無理数であることは、2の平方根の場合と同様、有理根定理、背理法（無限降下法）、または素因数分解の一意性を利用して証明することができる。実際、多項式 $x^{3}-2$ は整数係数を持ち、その有理根が存在するとすれば有理根定理により候補は $\pm 1,\pm 2$ に限られるが、いずれも根ではない。したがって ${\sqrt[{3}]{2}}$ は有理数ではない。

オンライン整数列大辞典では ${\sqrt[{3}]{2}}$ の十進記数法における小数点以下 107 桁まで表示されている。

${\sqrt[{3}]{2}}=$ 1.2599210498 9487316476 7210607278 2283505702 5146470150 …

この数の並びには無限回の循環はない。このことは、${\sqrt[{3}]{2}}$ が無理数であることによる。

性質

• ${\sqrt[{3}]{2}}$ は代数方程式 $x^{3}-2=0$ の根の 1 つであるから、代数的数である。さらに、この多項式は有理数上既約であるため、${\sqrt[{3}]{2}}$ の最小多項式は $x^{3}-2$ であり、その次数は 3 である。
• 複素数の範囲での 3 つの立方根は、偏角がそれぞれ $0$, ${\tfrac {2\pi }{3}}$, ${\tfrac {4\pi }{3}}$ の位置にあり、複素平面上では原点中心・半径 ${\sqrt[{3}]{2}}$ の円周上に等間隔に並ぶ。
• ${\sqrt[{3}]{2}}$ は定規とコンパスによる作図で示すことが不可能な数である。この事実は、作図可能数が有理数体から 2 次拡大を有限回重ねて得られる数に限られ、その最小多項式の次数が 2 の冪にならなければならないことによる。${\sqrt[{3}]{2}}$ の最小多項式 $x^{3}-2$ の次数は 3 であるため、これは作図不可能である。なお、この系統の不可能性に関する結果は 1837 年にピエール・ヴァンツェルによって与えられた。
• このため、2 の立方根は古代ギリシア以来の立方体倍積問題と結び付けられ、しばしばデロスの定数（Delian constant）とも呼ばれる。
• ${\sqrt[{3}]{2}}$ の連分数展開は

  ${\sqrt[{3}]{2}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}$

となる。これはしばしば [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4, ...] と表記される。連分数展開を途中で打ち切ることで、${\sqrt[{3}]{2}}$ の近似値を計算することができる。

脚注

関連項目

• 冪根
• 立方根
• 立方体倍積問題
• 2の平方根