読む編集履歴表示

複素共役

ウィキペディアから、無料の百科事典

数学において、複素共役（複素共軛、ふくそきょうやく、英: complex conjugate）とは、複素数の虚部を反数にした複素数をとる操作（写像）のことである。複素数 $z$ の共役複素数を記号で $z$ で表す^{[注釈 1]}

複素数 $z = a + bi$ （ $a, b$ は実数、 $i$ は虚数単位）の共役複素数 z は

{\overline {z}}=a-b\,i

である。極形式表示した複素数 $z = r (cos θ + i sin θ)$ （ $r \geq 0$ , $θ$ は実数）の共役複素数 z は、偏角を反数にした複素数である：

{\overline {z}}=r\{\cos(-\theta )+i\sin(-\theta )\}

複素数の共役をとる複素関数 $・ : C \to C; z \mapsto z$ は環同型である。すなわち次が成り立つ。

$z + w = z + w$
$zw = z w$

複素共役は実数を変えない：

$z$ が実数 ⇔ $z = z$

逆に、 $C$ 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる^[1]^[2]。

複素共役変換は、 $C$ の全ての点で複素微分不可能である。

複素共役変換を $R$ 上の線型変換と見ると、その表現行列は

{\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}

代数方程式について、

「実係数多項式

P (x)

が虚数根

α

をもつならば、

α

の共役複素数

α

も

P (x)

の虚数根である」

すなわち

実係数多項式

P (x)

について、

P (α) = 0 \Leftrightarrow P (α) = 0

が成り立つ（1746年、ダランベール）。このことは、複素共役変換は環準同型であることから容易に示せる。

定義と特徴づけ

複素数 $z = a + bi$ （ $a, b$ は実数、 $i$ は虚数単位）の複素共役とは、

{\overline {z}}=a-b\,i

を取る操作のことである。この写像を複素共役変換という。

複素共役変換は環同型写像である。すなわち、複素共役変換 $・ : C \to C; z \mapsto z$ に対して、次が成り立つ。

$・$ は全単射
$z + w = z + w$
$zw = z w$

さらに、複素共役は実数を保つ：

$z$ が実数 $\Leftrightarrow z = z$

逆に、 $C$ 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、恒等写像か複素共役変換に限られる^[1]^[2]。

「自己同型」も参照

（証明）

σ : C \to C

は環準同型写像で、

実数

r

に対して

σ (r) = r

を満たすとする。

(σ (i)) 2 = σ (i 2) = σ (- 1) = - 1

(σ (i) + i)(σ (i) - i) = 0

∴ σ (i) = \pm i

ゆえに、複素数

z = x + yi

（

x, y

は実数）に対して、

σ (z) = σ (x + yi) = σ (x) + σ (y) σ (i) = x + y σ (i) = x \pm yi

σ (x + yi) = x + yi

のとき、

σ

は恒等写像。

σ (x + yi) = x - yi

のとき、

σ

は複素共役変換である。（証明終）

性質

計算法則

$z, w$ を複素数とする。以下の性質が成り立つ。

$z$ $z$ が実数 ⇔ ${\overline {z}}=z$ ${\overline {z}}=z$
- $z$ が純虚数 ⇔ ${\overline {z}}=-z\neq 0$
${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$ ${\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}}$
- ${\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}}$
${\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}$ ${\overline {zw}}={\overline {z}}\cdot {\overline {w}}$
- ${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}\ (w\neq 0)$
- ${\overline {z^{n}}}=({\overline {z}})^{n}$ （ $n$ は整数）

上記の3つの性質は、複素共役を特徴付けるため、重要である。

${\overline {\overline {z}}}=z$ （対合）
$|z|=|{\overline {z}}|$
$z{\overline {z}}=|z|^{2}$
$z+{\overline {z}}=2\,\operatorname {Re} z$
$z-{\overline {z}}=2i\,\operatorname {Im} z$
${\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\ (z\neq 0)$ ${\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}}\ (z\neq 0)$
- 逆数は、絶対値と共役で表せる。

複素数の種々の値

複素共役を用いると、複素数の実部・虚部、絶対値・偏角を表すことができる。

$\operatorname {Re} z={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$
$\operatorname {Im} z={\frac {z-{\overline {z}}}{2i}}$
$\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}$
$e^{i\arg z}={\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}$

代数方程式

実係数多項式 $f (x)$ が虚数根 $α$ をもつならば、 $α$ の共役複素数 $α$ も $f (x)$ の根である。すなわち、実数係数多項式 $f (x)$ について

f(\alpha )=0\iff f({\overline {\alpha }})=0

が成り立つ（1746年、ダランベール）。このことは複素共役が環準同型であることから分かる。

複素解析

複素共役変換 $・ : C \to C; z \mapsto z$ は、 $C$ の全ての点で複素微分不可能である。

実軸の開集合上で実数値をとる実解析的関数について、その解析接続は、共役複素数に対して共役複素数を与える。たとえば複素解析において

\exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}

\log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}

（ただし実軸のある領域上で実数値をとる分枝の、複素共役について対称的な領域への拡張について）

が成り立つ。

複素数空間

複素線形空間 $C n$ の標準内積 $<・|・> : C n \times C n \to R \geq0$ は次の式で定義される：

{\boldsymbol {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n}),{\boldsymbol {y}}=(y_{1},\cdots ,y_{n})\in \mathbb {C} ^{n}

に対して、

{\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle

脚注

[脚注の使い方]

注釈

↑ 複素共役を表すのには上線がよく使われる。上付きのアスタリスク ( $z *$ ) なども使われるが、行列の随伴行列などとの混乱を避けるためにあまり使われない^[要出典]。

出典

1 2 高橋礼司「第1章「複素数」」『複素解析』東京大学出版会、1990年1月1日、5頁。ISBN 978-4130621069。の読書メモ
1 2 羽鳥理「Ring homomorphisms on commutative Banach algebras(1)〔和文〕」『数理解析研究所講究録』第1137巻、京都大学数理解析研究所、2000年4月、1-8頁、CRID 1050282677151329152、hdl:2433/63807、ISSN 1880-2818。

参考文献

黒須康之介『複素数』培風館〈新数学シリーズ 16〉、1959年4月。ISBN 978-4-563-00316-6。
高木貞治「第1章複素数」『代数学講義』（改訂新版）共立出版、1965年11月25日。ISBN 978-4-320-01000-0。
高木貞治『復刻版近世数学史談・数学雑談』共立出版、1996年12月10日。ISBN 978-4-320-01551-7。
高橋正明『複素数』（改訂版）科学新興新社〈モノグラフ 9〉、2000年10月21日。ISBN 978-4-89428-166-0。
西山清二『教科書だけでは足りない大学入試攻略複素数平面』河合出版〈河合塾シリーズ〉、2018年3月。ISBN 978-4-7772-1496-9。

外部リンク

『共役複素数』 - コトバンク
Weisstein, Eric W. "Complex Conjugates". mathworld.wolfram.com (英語).
Weisstein, Eric W. "Imaginary Numbers". mathworld.wolfram.com (英語).

複素数

人物

構成

演算

種々の複素数

空間の拡張

複素関数

複素数の拡張

多元数

ノルム多元体	四元数八元数
合成代数（分解型）	双複素数
クリフォード代数	四元数パウリ行列
その他	多重複素数

亜種

二元数
- 分解型複素数
- 二重数

表話編歴複素解析
正則関数	コーシー・リーマンの方程式コーシーの積分定理コーシーの積分公式一致の定理解析接続正則関数の解析性最大絶対値の原理リウヴィルの定理
ローラン級数	留数整関数有理型関数孤立特異点可除特異点極真性特異点その他の複素解析の定理については「Category:複素解析の定理」を参照
カテゴリ

カテゴリ