オイラー積分

数学において、オイラー積分（オイラーせきぶん, 英: Euler integral, Eulerian integral）とは、数学者オイラー、ルジャンドルによって研究された積分^[1][2]。第一種オイラー積分と第二種オイラー積分の2つが存在し、それぞれがベータ関数とガンマ関数に相当する。 オイラー積分の名はルジャンドルによって与えられた。

概要

第一種オイラー積分（Euler integral of the first kind）はベータ関数とも呼ばれ、${\displaystyle \Re (x)>0}$, ${\displaystyle \Re (y)>0}$を満たす${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$に対して、

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}$

で定義される。

第二種オイラー積分（Euler integral of the second kind）はガンマ関数とも呼ばれ、${\displaystyle \Re (z)>0}$を満たす${\displaystyle z}$に対して、

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt}$

で定義される。

オイラー積分の性質として、正の整数${\displaystyle l}$, ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle n}$に対して、

という表示もある。

脚注

参考文献

• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

関連項目

• レオンハルト・オイラー
• 階乗
• ガンマ関数
• ベータ関数
• 特殊関数
• 超幾何関数