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漸化式による積分

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定義
導関数 (一般化（英語版）) 微分無限小関数の全
概念
微分の記法二階導関数三階導関数（英語版）変数変換（英語版）陰関数の微分 Related rates（英語版）テイラーの定理
法則と恒等式（英語版）
和（英語版）積合成冪（英語版）商一般ライプニッツファー・ディ・ブルーノの公式（英語版）

積分法

定義
積分一覧
不定積分積分 (広義) リーマン積分ルベーグ積分線積分複素線積分
道具
部分 Discs（英語版）円殻（バウムクーヘン）置換三角置換（英語版）部分分数（英語版）順序（英語版）漸化式

級数

収束判定法（英語版）
幾何 (算術幾何) 調和交代冪二項テイラー
項の極限（項判定法）（英語版）比冪根積分比較極限比較（英語版）交代級数（英語版）凝集ディリクレアーベル（英語版）

漸化式による積分（ぜんかしきによるせきぶん、Integration by reduction formulae）は、漸化式による積分の計算方法である。この方法は、整数のパラメータ（通常は初等関数のべき乗）又は超越関数と任意の次数の多項式の積を数式が含み、直接積分できない場合に使われる。

漸化式の見つけ方

漸化式は、置換積分、部分積分、三角置換（英語版）による積分、部分分数分解による積分などの一般的な積分方法のいずれかを使用して導出できる。主なアイデアは、関数（I_nで表される）の整数パラメータ（例えばべき乗）を、例えばI_n-1やI_n-2で表されるより低い値のパラメータ（例えばより低いべき乗）を含む積分で表すことである。これにより、漸化式が導出される。漸化式において、積分

I_{n}=\int f(x,n)\,{\text{d}}x,

は以下の式

I_{k}=\int f(x,k)\,{\text{d}}x,

で表される。ここで

k<n.

である。

積分の計算方法

積分を計算するには、漸化式を使用してnの積分を(n – 1) や (n – 2) の積分で表す。より低い指数の積分は、より高い指数の積分を計算するために使用できる。これを積分される関数が計算できる（通常は指数が０又は１）ところまで繰り返し、逆代入することでI_nを計算する^[1]。

例

計算手順の例を示す。

余弦積分

以下の積分は、漸化式により計算できる。

\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x,\,\!

初めに、I_nを以下のように定義する。

I_{n}=\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x.\,\!

I_nは以下のように書き換えられる。

I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\cos x\,{\text{d}}x,\,\!

以下のように設定し、置換積分を行う。

\cos x\,{\text{d}}x={\text{d}}(\sin x),\,\!

I_{n}=\int \cos ^{n-1}x\,{\text{d}}(\sin x).\!

計算結果は以下のようになる。

{\begin{aligned}\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x&=\cos ^{n-1}x\sin x-\int \sin x\,{\text{d}}(\cos ^{n-1}x)\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \sin x\cos ^{n-2}x\sin x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\sin ^{2}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x(1-\cos ^{2}x)\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x-(n-1)\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\\&=\cos ^{n-1}x\sin x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_{n},\end{aligned}}\,

これによりI_nは以下の漸化式で表される。

I_{n}\ +(n-1)I_{n}\ =\cos ^{n-1}x\sin x\ +\ (n-1)I_{n-2},\,

nI_{n}\ =\cos ^{n-1}(x)\sin x\ +(n-1)I_{n-2},\,

I_{n}\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x\ +{\frac {n-1}{n}}I_{n-2},\,

これにより漸化式は

\int \cos ^{n}x\,{\text{d}}x\ ={\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\sin x+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,{\text{d}}x.\!

となる。n = 5の場合は以下のように計算できる。

I_{5}=\int \cos ^{5}x\,{\text{d}}x.\,\!

低い次数のI_nを計算する。

n=5,\quad I_{5}={\tfrac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\tfrac {4}{5}}I_{3},\,

n=3,\quad I_{3}={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}I_{1},\,

逆代入すると、

\because I_{1}\ =\int \cos x\,{\text{d}}x=\sin x+C_{1},\,

\therefore I_{3}\ ={\tfrac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\tfrac {2}{3}}\sin x+C_{2},\quad C_{2}\ ={\tfrac {2}{3}}C_{1},\,

となり、最終的にI₅は以下のように計算される。

I_{5}\ ={\frac {1}{5}}\cos ^{4}x\sin x+{\frac {4}{5}}\left[{\frac {1}{3}}\cos ^{2}x\sin x+{\frac {2}{3}}\sin x\right]+C,\,

Cは定数である。

指数積分

\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!

初めに、I_nを以下のように定義する。

I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x.\,\!

以下のように設定し、置換積分を行う。

x^{n}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(x^{n+1})}{n+1}},\,\!

I_{n}={\frac {1}{n+1}}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1}),\!

計算結果は以下のようになる。

{\begin{aligned}\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n+1})&=x^{n+1}e^{ax}-\int x^{n+1}\,{\text{d}}(e^{ax})\\&=x^{n+1}e^{ax}-a\int x^{n+1}e^{ax}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!

(n+1)I_{n}=x^{n+1}e^{ax}-aI_{n+1},\!

指数を１つずらし、n + 1 → n, n → n – 1とすると、

nI_{n-1}=x^{n}e^{ax}-aI_{n},\!

となる。I_nを解くと

I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!

となる。漸化式は

\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!

となる。

$e^{ax}$ を置換することによっても、導出することができる。以下のように設定し、置換積分を行う。

$e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {{\text{d}}(e^{ax})}{a}},\,\!$

$I_{n}={\frac {1}{a}}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax}),\!$

計算結果は以下のようになる。

${\begin{aligned}\int x^{n}\,{\text{d}}(e^{ax})&=x^{n}e^{ax}-\int e^{ax}\,{\text{d}}(x^{n})\\&=x^{n}e^{ax}-n\int e^{ax}x^{n-1}\,{\text{d}}x,\end{aligned}}\!$

逆代入すると

$I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!$

となり、式は

\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!

となる。

部分積分によっても導出することができる。

I_{n}=\int x^{n}xe^{ax}\,{\text{d}}x,\!

u=x^{n}{\text{ , }}\ dv=e^{ax},

{\frac {du}{dx}}\ =nx^{n-1}{\text{ , }}\ v={\frac {e^{ax}}{a}}\

I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -\int nx^{n-1}\ {\frac {e^{ax}}{a}}\ {\text{d}}x\

I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ \int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\

ここで

I_{n-1}=\int x^{n-1}e^{ax}\ {\text{d}}x\

\therefore \ I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}\ -{\frac {n}{a}}\ I_{n-1}

となるため、逆代入すると以下のようになる。

I_{n}={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-nI_{n-1}\right),\,\!

これは以下の式に等しい。

\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x={\frac {1}{a}}\left(x^{n}e^{ax}-n\int x^{n-1}e^{ax}\,{\text{d}}x\right).\!

漸化式の表

有理関数

以下の積分は、これらを含む^[2]。

線形根号の因子 ${\sqrt {ax+b}}\,\!$
線形因子 ${px+q}\,\!$ と線形根号 ${\sqrt {ax+b}}\,\!$
二次因子 $x^{2}+a^{2}\,\!$
二次因子 $x^{2}-a^{2}\,\!$ , for $x>a\,\!$
二次因子 $a^{2}-x^{2}\,\!$ , for $x<a\,\!$
(既約) 二次因子 $ax^{2}+bx+c\,\!$
既約多項式因子の根号 ${\sqrt {ax^{2}+bx+c}}\,\!$

積分	漸化式
$I_{n}=\int {\frac {x^{n}}{\sqrt {ax+b}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n}={\frac {2x^{n}{\sqrt {ax+b}}}{a(2n+1)}}-{\frac {2nb}{a(2n+1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{n}{\sqrt {ax+b}}}}\,\!$	$I_{n}=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{(n-1)bx^{n-1}}}-{\frac {a(2n-3)}{2b(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int x^{n}{\sqrt {ax+b}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n}={\frac {2x^{n}{\sqrt {(ax+b)^{3}}}}{a(2n+3)}}-{\frac {2nb}{a(2n+3)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(ax+b)^{m}(px+q)^{n}}}\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+a(m+n-2)I_{m,n-1}\right]\\{\frac {1}{(m-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {1}{(ax+b)^{m-1}(px+q)^{n-1}}}+p(m+n-2)I_{m-1,n}\right]\end{cases}}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {1}{(n-1)(bp-aq)}}\left[{\frac {(ax+b)^{m+1}}{(px+q)^{n-1}}}+a(n-m-2)I_{m,n-1}\right]\\-{\frac {1}{(n-m-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}+m(bp-aq)I_{m-1,n}\right]\\-{\frac {1}{(n-1)p}}\left[{\frac {(ax+b)^{m}}{(px+q)^{n-1}}}-amI_{m-1,n-1}\right]\end{cases}}\,\!$

積分	漸化式
$I_{n}=\int {\frac {(px+q)^{n}}{\sqrt {ax+b}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$\int (px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}}\,{\text{d}}x={\frac {2(px+q)^{n+1}{\sqrt {ax+b}}}{p(2n+3)}}+{\frac {bp-aq}{p(2n+3)}}I_{n}\,\!$ $I_{n}={\frac {2(px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}}}{a(2n+1)}}+{\frac {2n(aq-bp)}{a(2n+1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(px+q)^{n}{\sqrt {ax+b}}}}\,\!$	$\int {\frac {\sqrt {ax+b}}{(px+q)^{n}}}\,{\text{d}}x=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{p(n-1)(px+q)^{n-1}}}+{\frac {a}{2p(n-1)}}I_{n}\,\!$ $I_{n}=-{\frac {\sqrt {ax+b}}{(n-1)(aq-bp)(px+q)^{n-1}}}+{\frac {a(2n-3)}{2(n-1)(aq-bp)}}I_{n-1}\,\!$

積分	漸化式
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,\!$	$I_{n}={\frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}+a^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,\!$	$a^{2}I_{n,m}=I_{m,n-1}-I_{m-2,n}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(x^{2}+a^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n,m}=I_{m-2,n-1}-a^{2}I_{m-2,n}\,\!$

積分	漸化式
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,\!$	$I_{n}=-{\frac {x}{2a^{2}(n-1)(x^{2}-a^{2})^{n-1}}}-{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,\!$	${a^{2}}I_{n,m}=I_{m-2,n}-I_{m,n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(x^{2}-a^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n,m}=I_{m-2,n-1}+a^{2}I_{m-2,n}\,\!$

積分	漸化式
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,\!$	$I_{n}={\frac {x}{2a^{2}(n-1)(a^{2}-x^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2a^{2}(n-1)}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,\!$	${a^{2}}I_{n,m}=I_{m,n-1}+I_{m-2,n}\,\!$
$I_{n,m}=\int {\frac {x^{m}}{(a^{2}-x^{2})^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n,m}=a^{2}I_{m-2,n}-I_{m-2,n-1}\,\!$

積分	漸化式
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{{x^{n}}(ax^{2}+bx+c)}}\,\!$	$-cI_{n}={\frac {1}{x^{n-1}(n-1)}}+bI_{n-1}+aI_{n-2}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {x^{m}\,{\text{d}}x}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\!$	$I_{m,n}=-{\frac {x^{m-1}}{a(2n-m-1)(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}-{\frac {b(n-m)}{a(2n-m-1)}}I_{m-1,n}+{\frac {c(m-1)}{a(2n-m-1)}}I_{m-2,n}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{x^{m}(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,\!$	$-c(m-1)I_{m,n}={\frac {1}{x^{m-1}(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}+{a(m+2n-3)}I_{m-2,n}+{b(m+n-2)}I_{m-1,n}\,\!$

積分	漸化式
$I_{n}=\int (ax^{2}+bx+c)^{n}\,{\text{d}}x\,\!$	$8a(n+1)I_{n+{\frac {1}{2}}}=2(2ax+b)(ax^{2}+bx+c)^{n+{\frac {1}{2}}}+(2n+1)(4ac-b^{2})I_{n-{\frac {1}{2}}}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$(2n-1)(4ac-b^{2})I_{n+{\frac {1}{2}}}={\frac {2(2ax+b)}{(ax^{2}+bx+c)^{n-{\frac {1}{2}}}}}+{8a(n-1)}I_{n-{\frac {1}{2}}}\,\!$

I_{n+{\frac {1}{2}}}=I_{\frac {2n+1}{2}}=\int {\frac {1}{(ax^{2}+bx+c)^{\frac {2n+1}{2}}}}\,{\text{d}}x=\int {\frac {1}{\sqrt {(ax^{2}+bx+c)^{2n+1}}}}\,{\text{d}}x\,\!

超越関数

詳細は「超越関数」を参照

以下の積分は、これらを含む^[3]。

正弦(sin)因子
余弦(cos)因子
正弦と余弦の積や商の因子
指数因子やxの冪乗の積や商
指数と正弦/余弦因子の積

積分	漸化式
$I_{n}=\int x^{n}\sin {ax}\,{\text{d}}x\,\!$	$a^{2}I_{n}=-ax^{n}\cos {ax}+nx^{n-1}\sin {ax}-n(n-1)I_{n-2}\,\!$
$J_{n}=\int x^{n}\cos {ax}\,{\text{d}}x\,\!$	$a^{2}J_{n}=ax^{n}\sin {ax}+nx^{n-1}\cos {ax}-n(n-1)J_{n-2}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {\sin {ax}}{x^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$ $J_{n}=\int {\frac {\cos {ax}}{x^{n}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}J_{n-1}\,\!$ $J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!$ the formulae can be combined to obtain separate equations in I_n: $J_{n-1}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}-{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\,\!$ $I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[{\frac {\cos {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}I_{n-2}\right]\,\!$ $\therefore I_{n}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{(n-1)(n-2)}}\left({\frac {\cos {ax}}{x^{n-2}}}+aI_{n-2}\right)\,\!$ and J_n: $I_{n-1}=-{\frac {\sin {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\,\!$ $J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\left[-{\frac {\sin {ax}}{(n-2)x^{n-2}}}+{\frac {a}{n-2}}J_{n-2}\right]\,\!$ $\therefore J_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{(n-1)(n-2)}}\left(-{\frac {\sin {ax}}{x^{n-2}}}+aJ_{n-2}\right)\,\!$
$I_{n}=\int \sin ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!$	$anI_{n}=-\sin ^{n-1}{ax}\cos {ax}+a(n-1)I_{n-2}\,\!$
$J_{n}=\int \cos ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!$	$anJ_{n}=\sin {ax}\cos ^{n-1}{ax}+a(n-1)J_{n-2}\,\!$
$I_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\sin ^{n}{ax}}}\,\!$	$(n-1)I_{n}=-{\frac {\cos {ax}}{a\sin ^{n-1}{ax}}}+(n-2)I_{n-2}\,\!$
$J_{n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\cos ^{n}{ax}}}\,\!$	$(n-1)J_{n}={\frac {\sin {ax}}{a\cos ^{n-1}{ax}}}+(n-2)J_{n-2}\,\!$

積分	漸化式
$I_{m,n}=\int \sin ^{m}{ax}\cos ^{n}{ax}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n+1}{ax}}{a(m+n)}}+{\frac {m-1}{m+n}}I_{m-2,n}\\{\frac {\sin ^{m+1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}{a(m+n)}}+{\frac {n-1}{m+n}}I_{m,n-2}\\\end{cases}}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {{\text{d}}x}{\sin ^{m}{ax}\cos ^{n}{ax}}}\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m+n-2}{n-1}}I_{m,n-2}\\-{\frac {1}{a(m-1)\sin ^{m-1}{ax}\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m+n-2}{m-1}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {\sin ^{m}{ax}}{\cos ^{n}{ax}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}{\frac {\sin ^{m-1}{ax}}{a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-1}{n-1}}I_{m-2,n-2}\\{\frac {\sin ^{m+1}{ax}}{a(n-1)\cos ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-n+2}{n-1}}I_{m,n-2}\\-{\frac {\sin ^{m-1}{ax}}{a(m-n)\cos ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m-1}{m-n}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!$
$I_{m,n}=\int {\frac {\cos ^{m}{ax}}{\sin ^{n}{ax}}}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{m,n}={\begin{cases}-{\frac {\cos ^{m-1}{ax}}{a(n-1)\sin ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-1}{n-1}}I_{m-2,n-2}\\-{\frac {\cos ^{m+1}{ax}}{a(n-1)\sin ^{n-1}{ax}}}-{\frac {m-n+2}{n-1}}I_{m,n-2}\\{\frac {\cos ^{m-1}{ax}}{a(m-n)\sin ^{n-1}{ax}}}+{\frac {m-1}{m-n}}I_{m-2,n}\\\end{cases}}\,\!$

積分	漸化式
$I_{n}=\int x^{n}e^{ax}\,{\text{d}}x\,\!$ $n>0\,\!$	$I_{n}={\frac {x^{n}e^{ax}}{a}}-{\frac {n}{a}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int x^{-n}e^{ax}\,{\text{d}}x\,\!$ $n>0\,\!$ $n\neq 1\,\!$	$I_{n}={\frac {-e^{ax}}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}I_{n-1}\,\!$
$I_{n}=\int e^{ax}\sin ^{n}{bx}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n}={\frac {e^{ax}\sin ^{n-1}{bx}}{a^{2}+(bn)^{2}}}\left(a\sin bx-bn\cos bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}}{a^{2}+(bn)^{2}}}I_{n-2}\,\!$
$I_{n}=\int e^{ax}\cos ^{n}{bx}\,{\text{d}}x\,\!$	$I_{n}={\frac {e^{ax}\cos ^{n-1}{bx}}{a^{2}+(bn)^{2}}}\left(a\cos bx+bn\sin bx\right)+{\frac {n(n-1)b^{2}}{a^{2}+(bn)^{2}}}I_{n-2}\,\!$

出典

↑ Further Elementary Analysis, R.I. Porter, G. Bell & Sons Ltd, 1978, ISBN 0-7135-1594-5
↑ http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite integrals list
↑ http://www.sosmath.com/tables/tables.html -> Indefinite integrals list

参考文献

ウィキブックスにCalculus/Integration techniques/Reduction Formula関連の解説書・教科書があります。

Anton, Bivens, Davis, Calculus, 7th edition.

表話編歴積分
積分法	リーマンルベーグバーキル（英語版）ボホナーダニエルダルブー（英語版） HK マクシェイン不変ヘリンガー（英語版）ヒンチン（英語版）コルモゴロフ（英語版） LS ペティスプフェッファー（英語版） RS 方正
計算法	部分積分置換積分逆函数の積分（英語版）積分の順序（英語版）三角函数置換（英語版）部分分数分解を通じた積分（英語版）漸化式による積分媒介変数微分を用いた積分（英語版）オイラーの公式を用いた積分（英語版）積分記号下の微分（英語版）複素線積分
広義積分	ガウス積分ガンマ関数
確率積分	伊藤積分（英語版）ストラトノヴィッチ積分（英語版）スコロホッド積分（英語版）
数値積分	台形公式ガウス求積ガウス＝クロンロッド求積法二重指数関数型数値積分公式
積分方程式	フレドホルム積分方程式ヴォルテラ積分方程式

表話編歴積分
積分法	リーマンルベーグバーキル（英語版）ボホナーダニエルダルブー（英語版） HK マクシェイン不変ヘリンガー（英語版）ヒンチン（英語版）コルモゴロフ（英語版） LS ペティスプフェッファー（英語版） RS 方正
計算法	部分積分置換積分逆函数の積分（英語版）積分の順序（英語版）三角函数置換（英語版）部分分数分解を通じた積分（英語版）漸化式による積分媒介変数微分を用いた積分（英語版）オイラーの公式を用いた積分（英語版）積分記号下の微分（英語版）複素線積分
広義積分	ガウス積分ガンマ関数
確率積分	伊藤積分（英語版）ストラトノヴィッチ積分（英語版）スコロホッド積分（英語版）
数値積分	台形公式ガウス求積ガウス＝クロンロッド求積法二重指数関数型数値積分公式
積分方程式	フレドホルム積分方程式ヴォルテラ積分方程式