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ガウスの法則（ガウスのほうそく、英: Gauss' law^[1]）とは、カール・フリードリヒ・ガウスが1835年に発見し、1867年に発表した電荷と電場の関係をあらわす方程式である。

この式はジェームズ・クラーク・マクスウェルにより数学的に整備され、マクスウェルの方程式の1つとなった。電気におけるアンペールの法則とみなすこともできる^[要出典]。

ここでの単位のガウスは、磁束密度の単位であり、電場を扱うこの法則とは全く関係がない。

積分形

一般に積分形と呼ばれるガウスの法則は以下の形で表される。

$\oint _{S}{\boldsymbol {D}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=\int _{V}\rho \,\mathrm {d} V=Q$

ここで、

D	: 電束密度
ρ	: 電荷密度
Q	: 積分領域 V の内部にある電荷の総和
dS	: 面素ベクトル
V	: 体積

である。

この式は、ある領域内に電荷が存在すると、その領域から電荷と等しい大きさの電束という物理量が出入りするということを示している。

微分形

発散

閉曲面Sにおいて、ガウスの法則（

\oint _{S}{\boldsymbol {D}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}=Q

）において、体積Vの微小変化による電束（ガウスの法則、面積分）の変化率をdivD で表す。

$\mathrm {div} {\boldsymbol {D}}=\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {1}{\Delta V}}\oint _{\Delta S}{\boldsymbol {D}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {S}}$

ここでΔSはΔVの表面である。

また

$\mathrm {div} {\boldsymbol {D}}=\rho$

ρ

: 電荷密度

となる。

ここで記号「div」はダイバージェンス (divergence) と読み、発散を表す。

直角座標における発散

直角座標においてdivD は、

$\mathrm {div} {\boldsymbol {D}}=\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {1}{\Delta V}}\oint _{\Delta S}{\boldsymbol {D}}\cdot d{\boldsymbol {S}}=\left({\frac {\partial D_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial D_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial D_{z}}{\partial z}}\right)$

となる。

微分形と呼ばれるガウスの法則は以下の形で表される。この形はジェームズ・クラーク・マクスウェルにより整備された。

$\nabla \cdot {\boldsymbol {D}}=\rho$

ここで、

D

: 電束密度

である。∇（ナブラ）は微分演算子である。

脚注

[脚注の使い方]

出典

↑ 文部省、日本物理学会編『学術用語集物理学編』培風館、1990年。ISBN 4-563-02195-4。

表話編歴電磁気学
基本	電気磁性
静電気学	電荷クーロンの法則電場電束ガウスの法則電位静電誘導電気双極子分極電荷
静磁気学	アンペールの法則電流磁場磁化磁束ビオ・サバールの法則磁気モーメントガウスの法則
電気力学	自由空間ローレンツ力起電力電磁誘導ファラデーの法則レンツの法則変位電流マクスウェルの方程式電磁場電磁波リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル（英語版）マクスウェル・テンソル渦電流
電気回路	電気伝導電圧キルヒホッフの法則電気抵抗静電容量インダクタンス交流インピーダンスアドミタンス共鳴空洞導波管
共変定式	電磁場テンソル 4元電流密度電磁ポテンシャル電磁場の応力エネルギーテンソル（英語版）
人物	アンペールクーロンファラデーガウスオームヘヴィサイドヘンリーヘルツキルヒホフローレンツマクスウェルテスラボルタヴェーバーエルステッド
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積分形

微分形

発散

直角座標における発散

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