スケール不変性

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スケール不変性（スケールふへんせい、英: scale invariance）とは、対象のスケール^{[要曖昧さ回避]}を変えてもその特徴が変化しない性質のことである^[1]。

定義

観測対象 F について、任意のスケール変換 x → λx に対し次の性質を満たす定数 μ が存在することである。μ が整数の場合は、μ-次の斉次函数である。

${\displaystyle F(\lambda \,x)=\lambda ^{\mu }F(x).}$

任意のスケールに対してではなく、1つあるいは複数の特定のスケール λ_k に対してのみスケール不変性が成り立つ場合を離散的スケール不変性という^[1]。

例

スケール不変性を満たす解の1つとしてべき乗則が挙げられる。

${\displaystyle F(x)=c\,x^{\alpha }}$

証明

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\lambda x)&=c\,(\lambda x)^{\alpha }\\&=\lambda ^{\alpha }\,F(x)\end{aligned}}}$

脚注

表 話 編 歴 フラクタル
特徴	フラクタル次元 Assouad（英語版） Box-counting（英語版） Correlation（英語版） ハウスドルフ Packing（英語版） 位相 再帰（英語版） 自己相似 自己相似過程 スケール不変性
反復関数系	バーンズリーのシダ カントール集合 ドラゴン曲線 レヴィC曲線 コッホ雪片 メンガーのスポンジ シェルピンスキーのカーペット シェルピンスキーの三角形 空間充填曲線 T-square（英語版）
ストレンジアトラクター	多重フラクタル系（英語版）
L-system	空間充填曲線
Escape-time fractals	バーニングシップ・フラクタル ジュリア集合 充填 リアプノフ・フラクタル マンデルブロ集合 ニュートン・フラクタル（英語版）
確率的フラクタル	ブラウン運動 非整数ブラウン運動 ブラウンの木（英語版） 拡散律速凝集 フラクタル地形 Lévy flight（英語版） パーコレーション理論（英語版） Self-avoiding walk（英語版）
人物	ゲオルク・カントール フェリックス・ハウスドルフ ガストン・ジュリア ヘルゲ・フォン・コッホ ポール・レヴィ アレクサンドル・リャプノフ ブノワ・マンデルブロ ルイス・フライ・リチャードソン ヴァツワフ・シェルピニスキ
その他	"How Long Is the Coast of Britain?（英語版）" 海岸線のパラドックス List of fractals by Hausdorff dimension（英語版） The Beauty of Fractals（英語版） (1986 book)
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