トムセンの定理

トムセンの定理（トムセンのていり、英: Thomsen's theorem）は、ゲルハルト・トムセンに因んで命名された初等幾何学の定理である。三角形の辺に平行な線から成る折線（英語版）は閉曲線となることを主張する。

△ABCの辺（またはその延長）BC上に点P₁をとる。P₁を通りCAと平行な直線とABの交点をP₂、P₂を通りBCと平行な直線とCAの交点をP₃、P₃を通りABと平行な直線とBCの交点をP₄、P₄を通りCAと平行な直線とABの交点をP₅、P₅を通りBCと平行な直線とCAの交点をP₆とする。P₆を通りABと平行な直線とBCの交点はP₁である。つまり折れ線P₁P₂P₃P₄P₅P₆P₁は閉じる。また、いづれかの点が辺の中点である場合、その連鎖の長さは3になる

またP₁,P₂,P₃,P₄,P₅,P₆は同一楕円上にある。

${\displaystyle k={\frac {BP_{1}}{BC}}={\biggl (}{\frac {CP_{2}}{CA}}={\frac {AP_{3}}{AB}}{\biggr )}}$

としてその面積は

${\displaystyle {\frac {4\pi }{3k^{2}-3k+1}}S}$

である。ただしSは三角形の面積。楕円の中心は三角形の重心。k=1/2のときシュタイナーの内接楕円、k=0,1のときシュタイナーの外接楕円である。

出典

• Satz von Thomsen In: Schülerduden – Mathematik II. Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, pp. 358–359 (German)

関連項目

• パップスの定理
• タッカー円
• 三角形の円錐曲線

外部リンク

• Darij Grinberg: Schließungssätze in der ebenen Geometrie (German)
• Weisstein, Eric W. "Thomsen's Figure". mathworld.wolfram.com (英語).
• Thomsen's Figure at Wolfram Demonstrations Project.