タッカー円

タッカー円（タッカーえん、英: Tucker circles）^[1][2]は、幾何学において、ロバート・タッカーの名を冠する三角形の円（ドイツ語版）の集合である。集合であることを明示する場合、タッカー円の群またはタッカー属とも言われる^[3][4][5]。タッカー円の特殊な場合として、外接円、 第一ルモワーヌ円（ドイツ語版）、第二ルモワーヌ円（ドイツ語版）、第三ルモワーヌ円（ドイツ語版）、テイラー円などがある。

定義

三角形の辺またはその延長上のある点から、他の辺の平行線か逆平行線を引く。その直線と3つめの辺（またはその延長）から、次の辺の、平行線と逆平行線のうち、先とは異なる方の直線を引き、別の辺との交点を取る。この操作を延べ6回繰り返して得た点は最初に決めた点と一致する。また、6回の操作の中で得た6点は共円である（タッカーの定理^[5]）。

具体的に書けば、△ABCについて、直線AB上の点Q_cを取り、Q_cを通るACの平行線（逆平行線）とBCの交点をP_a、P_aを通るABの逆平行線（平行線）とACの交点をQ_b、Q_bを通るBCの平行線（逆平行線）とABの交点をP_c、P_aを通るACの逆平行線（平行線）とBCの交点をQ_a、Q_aを通るABの平行線（逆平行線）をP_bとすると、P_bを通るBCの逆平行線（平行線）とABはQ_cで交わり、さらに六点Q_c, P_a, Q_b, P_c, Q_a, P_bは同一円周上にある。

この円をタッカー円といい、文中の平行線と逆平行線を辺とする六角形をタッカー六角形（Tucker hexagon）という^[6][7]。タッカー六角形はルモワーヌ六角形の一般化である。

性質と関係

以下では、基準三角形△ABCの類似重心をK、外心をO、 タッカー六角形をQ_cP_aQ_bP_cQ_aP_bとする。ただしQ_cP_a, Q_bP_c, Q_aP_bが各辺と逆平行である。また、Tをタッカー円の中心、LをAKとQ_bP_cの交点、MをBKとQ_cP_aの交点、NをCKとQ_aP_bの交点、 H_a, H_b, H_cをそれぞれ△ABCの各頂垂線の垂足と定義する。

• 三角形の辺の逆平行線であるタッカー六角形の辺の長さは等しい。つまり${\displaystyle |Q_{b}P_{c}|=|Q_{c}P_{a}|=|Q_{a}P_{b}|}$ 。
• 頂点と類似重心を結ぶ直線によって二等分される^[7]。つまり${\displaystyle |Q_{b}L|=|LP_{c}|=|Q_{c}M|=|MP_{a}|=|Q_{a}N|=|NP_{b}|}$。

• 逆平行線であるタッカー六角形の辺は、垂心三角形H_aH_bH_cの対応する辺に平行である^[8]。つまり、${\displaystyle Q_{b}P_{c}\parallel H_{b}H_{c},Q_{c}P_{A}\parallel H_{c}H_{a},Q_{a}P_{b}\parallel H_{a}H_{b}}$。

• △LNMは△ABCと${\displaystyle K}$を中心にして相似である^[7]。つまり、${\displaystyle {\frac {|KL|}{|KA|}}={\frac {|KM|}{|KB|}}={\frac {|KN|}{|KC|}}}$。

• 三角形の辺の逆平行線であるタッカー六角形の辺は、対応する頂点と外心を結ぶ直線と直交する^[7]。つまり${\displaystyle Q_{b}P_{c}\perp AO,Q_{c}P_{a}\perp BO,Q_{a}P_{b}\perp CO}$。

• タッカー円の中心Tはブロカール軸KO上にある。比${\displaystyle {\frac {|KT|}{|KO|}}}$は△LNMと△ABCの相似比に比例する^[7]。つまり、${\displaystyle {\frac {|KT|}{|KO|}}={\frac {|KL|}{|KA|}}={\frac {|KM|}{|KB|}}={\frac {|KN|}{|KC|}}}$。

• タッカー円の包絡線はブロカール点を焦点とする内接楕円（英語版）、ブロカール内接楕円（ブロカール楕円）である^[8]。

• タッカー六角形が基準三角形に退化する、つまり${\displaystyle Q_{b}=P_{c}=A,Q_{c}=P_{a}=B,Q_{a}=P_{b}=C}$となるとき、外接円をタッカー円として得られる。

タッカー円を線分${\displaystyle Q_{b}P_{c}}$の符号付長さを媒介変数として表す。

${\displaystyle t={\begin{cases}\ \ \,|Q_{b}P_{c}|,&(A\notin P_{c}B)\\-|Q_{b}P_{c}|,&(A\in P_{c}B)\end{cases}}}$

タッカー円の半径は${\displaystyle t}$を用いて次の様に与えられる^[8]

${\displaystyle R(t)={\sqrt {\frac {t^{2}(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-t(a^{2}+b^{2}+c^{2})abc+a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}}$

代表的な値の場合を以下の表に載せた^[8]。

タッカー円	パラメタ
外接円	${\displaystyle t=0}$
第一ルモワーヌ円	${\displaystyle t={\frac {abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$
第ニルモワーヌ円	${\displaystyle t={\frac {2abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$
第三ルモワーヌ円	${\displaystyle t={\frac {3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$
六点円	${\displaystyle t={\frac {1}{4}}{\frac {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{abc}}}$
アポロニウス円	${\displaystyle t=-{\frac {a+b+c}{2}}}$

比${\displaystyle t={\frac {|KT|}{|KO|}}}$で記述すると、次のようになる。

半径は、ωをブロカール角として

${\displaystyle R_{T}=R{\sqrt {t^{2}+(1-t)^{2}\tan ^{2}\omega }}}$

タッカー円	パラメタ
外接円	${\displaystyle t=1}$
第一ルモワーヌ円	${\displaystyle t={\frac {1}{2}}}$
第ニルモワーヌ円	${\displaystyle t=0}$
剣持円	${\displaystyle t={\tfrac {S}{S+{\frac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}}$（Sは面積）
ゲラトゥリ円	${\displaystyle t=\sin ^{2}\omega }$
六点円	${\displaystyle t=-\cos {\hat {A}}\cos {\hat {B}}\cos {\hat {C}}}$
アポロニウス円	${\displaystyle t={\frac {p(p^{2}-r^{2})}{abc}}}$（rは内半径、pは半周長）

空間

ルモワーヌ点^{[註 1]}を持つ四面体（等力四面体）にも、同様にしてタッカー円の類似物、タッカー球を作ることができる。

等力四面体A₁A₂A₃A₄とルモワーヌ点を中心に相似の位置にある四面体B₁B₂B₃B₄について、平面B₂B₃B₄と直線A₁A₂,A₁A₃, A₁A₄の交点、平面B₃B₄B₁と直線A₂A₁,A₂A₃, A₂A₄の交点、平面B₄B₁B₂と直線A₃A₁,A₃A₂, A₁A₄の交点、平面B₁B₂B₃と直線A₄A₁,A₄A₂, A₄A₃の交点、延べ12点は同一球面上にある。この球をタッカー球と言う^[9]。

出典

1. ↑ 窪田忠彦『近世幾何学』岩波書店、1947年、118頁。doi:10.11501/1063410。 
2. ↑ るーしぇ, こんぶるーす 著、小倉金之助 訳『初等幾何學 第1卷 平面之部』山海堂出版部、1919年。doi:10.11501/1082035。 
3. ↑ 森本清吾『近世幾何学』積善館、1929年、71頁。doi:10.11501/1171033。 
4. ↑ ジョン・ケージー 著、山下安太郎, 高橋三蔵 訳『幾何学続編』有朋堂、1909年。doi:10.11501/828521。 
5. 1 2 長沢亀之助『幾何学辞典 : 問題解法 続』長沢亀之助、1912年、556頁。doi:10.11501/952919。 
6. ↑ Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 274–277 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry)
7. 1 2 3 4 5 Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 87–98 (Digitalisat)
8. 1 2 3 4 Sandor Nagydobai Kiss, Paul Yiu: On the Tucker Circles. In: Forum Geometricorum, Band 17 (2017), S. 157–175 (Digitalisat)
9. ↑ るーしぇ, こんぶるーす『初等幾何學 第2卷 空間之部』山海堂出版部、1915年、928頁。doi:10.11501/1082037。 

参考文献

• Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 274–277 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel Modern Geometry)
• A. Emmerich: Die Brocardschen Gebilde und ihre Beziehungen zu den verwandten merkwürdigen Punkten und Kreisen des Dreiecks. Verlag Georg Reimer, Berlin 1891, S. 53–67
• Ross Honsberger: Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. MAA, 1995, S. 87–98 (Digitalisat)
• Sandor Nagydobai Kiss, Paul Yiu: On the Tucker Circles. In: Forum Geometricorum, Band 17 (2017), S. 157–175 (Digitalisat)
• Traian Lalescu, Trajan Lalesco (1952). La géometrie du triangle. Librairie Vuibert. ISSN 1220-5605 
• Sortais, Yvonne et René (1997). La géométrie du triangle : exercices resolus. Hermann. ISBN 9782705614294 
• François Lobit, Propriétés géométriques exceptionnelles du triangle, Publibook, 2015, pages 30,31

関連項目

• トムセンの定理
• 三角形の円錐曲線

外部リンク

• Weisstein, Eric W. "Tucker Circles". mathworld.wolfram.com (英語).
• Tucker circles auf cut-the-knot.org
• Jacques Bouteloup, Cercles de Tücker archive