ノルム剰余同型定理

数学において、ノルム剰余同型定理 (norm residue isomorphism theorem)^{[注釈 1]}またはブロック・加藤予想 (Bloch-Kato conjecture) は、ミルナーのK-理論とガロアコホモロジーを結びつける、長らく予想されていた定理である。ジョン・ミルナー (John Milnor)^[1]はこの定理が${\displaystyle \ell =2}$の場合に正しいと予想し、これはミルナー予想として知られるようになった。一般の場合はスペンサー・ブロック（英語版）と加藤和也^[2]により予想され、ブロック・加藤予想 (Bloch–Kato conjecture) 、もしくは（L-函数の特殊値におけるブロック・加藤の予想と区別するために）モチーフ的ブロック・加藤予想 (motivic Bloch–Kato conjecture) として知られるようになった。ノルム剰余同型定理はウラジミール・ヴォエヴォツキー (Vladimir Voevodsky) により、マーカス・ロスト（英語版）(Markus Rost)の数々の斬新な結果を用いて証明された^[3][4]。

ステートメント

体${\displaystyle k}$において可逆な整数 ${\displaystyle \ell }$ に対し、自然な写像 ${\displaystyle \partial :k^{*}\rightarrow H^{1}(k,\mu _{\ell })}$ が存在する。ここで ${\displaystyle \mu _{\ell }}$ は ${\displaystyle k}$ の分離閉包における1の ${\displaystyle \ell }$ -乗根のなす群であり、 ${\displaystyle H^{n}(k,{-})}$ は ${\displaystyle k}$ のガロアコホモロジーである。この写像は同型 ${\displaystyle k^{\times }/(k^{\times })^{\ell }\cong H^{1}(k,\mu _{\ell })}$ を導く。これがK-理論に関連していることの最初のヒントは、 ${\displaystyle k^{\times }}$ が群 ${\displaystyle K_{1}(k)}$ であることである。テンソル積をとりカップ積を適用することで、写像 ${\displaystyle \partial }$ は

${\displaystyle \partial ^{n}:k^{\times }\otimes \cdots \otimes k^{\times }\rightarrow H^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n}).}$

に拡張される。これらの写像は ${\displaystyle k\setminus \{0,1\}}$ のすべての元 ${\displaystyle a}$ に対して ${\displaystyle \partial ^{n}(\ldots ,a,\ldots ,1-a,\ldots )}$ が0になるという性質を持つ。これはミルナーのK-理論の定義関係式である。具体的には、ミルナーK-理論は次の環の斉次部分として定義される：

${\displaystyle K_{*}^{M}(k)=T(k^{\times })/(\{a\otimes (1-a)\colon a\in k\setminus \{0,1\}\})\ .}$

ここで ${\displaystyle T(k^{\times })}$ は乗法群 ${\displaystyle k^{\times }}$ のテンソル代数であり、商は ${\displaystyle a\otimes (1-a)}$ の形をしたすべての元で生成される両側イデアルによるものである。従って写像 ${\displaystyle \partial ^{n}}$ は写像

${\displaystyle \partial ^{n}\colon K_{n}^{M}(k)\to H^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n})}$

を経由する。この写像はガロア記号(Galois symbol)、あるいはノルム剰余(norm residue)写像と呼ばれる^[5][6][7]。mod-${\displaystyle \ell }$ ガロアコホモロジーは${\displaystyle \ell }$-捻れ群であるので、この写像はさらに ${\displaystyle K_{n}^{M}(k)/\ell }$ を経由する。

ノルム剰余同型定理（もしくはブロック・加藤の予想）は、体 ${\displaystyle k}$ と ${\displaystyle k}$ で可逆な整数 ${\displaystyle \ell }$ に対し、ミルナーのK-理論から mod-${\displaystyle \ell }$ ガロアコホモロジーへのノルム剰余写像

${\displaystyle \partial ^{n}:K_{n}^{M}(k)/\ell \to H^{n}(k,\mu _{\ell }^{\otimes n})}$

は同型であるという定理である。 ${\displaystyle \ell =2}$ の場合がミルナー予想であり、 ${\displaystyle n=2}$ の場合がメルクリエフ・ススリンの定理 (Merkurjev–Suslin theorem) である^[7][8]。

歴史

この予想は体 ${\displaystyle k}$ のミルナーのK-群の ${\displaystyle \ell }$ -次の余捩れ (cotorsion) （ ${\displaystyle \ell }$ -可除元のなす部分群による商）が1の ${\displaystyle \ell }$ -乗根のなすガロア加群を係数とする ${\displaystyle k}$ のガロアコホモロジーに等しいことを主張する。予想の重要な点は、ミルナーのK-群には成立することが容易に分かるが、ガロアコホモロジーで成立するか直ちに分からない性質、あるいはその逆の性質があることである。ノルム剰余同型定理は、同型の片側の対象に適用可能なテクニックを，もう一方の側の対象へ適用することを可能にする。

${\displaystyle n}$ が0の場合は自明であり、 ${\displaystyle n=1}$ の場合はヒルベルトの定理90から容易に従う。 ${\displaystyle n=2}$ かつ ${\displaystyle \ell =2}$ の場合は (Merkurjev 1981) で証明された。重要な前進は n = 2 で ℓ が任意の場合である。この場合は、(Merkurjev & Suslin 1982) で証明され、メルクリエフ・ススリンの定理(Merkurjev–Suslin theorem)として知られている。後日、メルクリエフ(Merkurjev)とススリン(Suslin)と、それとは独立にロスト(Rost)は、n = 3 と ℓ = 2 の場合に証明した。(Merkurjev & Suslin 1991) (Rost 1986)。

名称「ノルム剰余」は、体 ${\displaystyle k}$ のブラウアー群に値をとるヒルベルト記号 ${\displaystyle (a_{1},a_{2})}$ に起源を持つ（ただし体は1の ${\displaystyle \ell }$ -乗根をすべて持つとする）。この命名は通常の局所類体論との類似に基づいており、（発展途上の）「高次」類体論の一部をなすと期待されている。

ノルム剰余同型定理はキレン・リヒテンバウム予想（英語版）を含んでいる。またこれはかつてベイリンソン・リヒテンバウム予想として知られていた定理と等価である。

ベイリンソン・リヒテンバウム予想

X を ${\displaystyle 1/\ell }$ を含む体の上の滑らかな多様体とする。ベイリンソン (Beilinson) とリヒテンバウム (Lichtenbaum) は、モチヴィックコホモロジー（英語版） (motivic cohomology) 群 ${\displaystyle H^{p,q}(X,\mathbf {Z} /\ell )}$ は、p≤q のときエタールコホモロジー群 ${\displaystyle H_{\rm {{\acute {e}}t}}^{p}(X,\mu _{\ell }^{\otimes q})}$ と同型であろうと予想した。この予想はノルム剰余同型定理と同値であり、今では証明されている。

脚注

参考文献

• Bloch, Spencer; Kato, Kazuya (1986). “p-adic etale cohomology”. Publications Mathématiques de l'IHÉS 63: 107–152. 
• Borghesi, Simone (2000), Algebraic Morava K-theories and the higher degree formula,, Preprint, http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0412 
• Efrat, Ido (2006). Valuations, orderings, and Milnor K-theory. Mathematical Surveys and Monographs. 124. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4041-X. Zbl 1103.12002 
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central simple algebras and Galois cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86103-9. Zbl 1137.12001 
• Milnor, John (1970). “Algebraic K-theory and quadratic forms”. Inv. Math. 9: 318– 344. 
• “Chain lemma for splitting fields of symbols” (1998年). Dec.2014閲覧。
• Srinivas, V. (2008). Algebraic K-theory. Modern Birkhäuser Classics (Paperback reprint of the 1996 2nd ed.). Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4736-0. Zbl 1125.19300 
• Voevodsky, Vladimir (1995), Bloch-Kato conjecture for Z/2-coefficients and algebraic Morava K-theories,, Preprint, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.154.922 
• Voevodsky, Vladimir (1996), The Milnor Conjecture, Preprint, http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0170 
• Voevodsky, Vladimir (2001), On 2-torsion in motivic cohomology, Preprint, https://arxiv.org/abs/math/0107110 
• Voevodsky, Vladimir (2003a), “Reduced power operations in motivic cohomology”, Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques 98 (98): 1–57, doi:10.1007/s10240-003-0009-z, ISSN 0073-8301, MR2031198, http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_2003__98__1_0 
• Voevodsky, Vladimir (2003b), “Motivic cohomology with Z/2-coefficients”, Institut des Hautes Études Scientifiques. Publications Mathématiques 98 (98): 59–104, doi:10.1007/s10240-003-0010-6, ISSN 0073-8301, MR2031199, https://www.researchgate.net/publication/225345330_Motivic_cohomology_with_Z2-coefficients 
• Voevodsky, Vladimir (2008). "On motivic cohomology with Z/l coefficients". arXiv:0805.4430 [math.AG]。
• Weibel, Charles (2009). “The norm residue isomorphism theorem”. Journal of Topology 2 (2): 346–372. doi:10.1112/jtopol/jtp013. MR2529300. 
• Voevodsky, Vladimir (2011). “On motivic cohomology with Z/l-coefficients”. Annals of Mathematics 174 (1): 401–438. doi:10.4007/annals.2011.174.1.11. http://annals.math.princeton.edu/2011/174-1/p11.