ハイポノーマル作用素

数学の、特に作用素論の分野におけるハイポノーマル作用素（ハイポノーマルさようそ、英: hyponormal operator; 劣正規作用素）とは、正規作用素のある一般化である。一般に、ある複素ヒルベルト空間上の線型作用素 T が p-ハイポノーマル（${\displaystyle 0<p\leq 1}$）であるとは、

${\displaystyle (T^{*}T)^{p}\geq (TT^{*})^{p}}$

が成り立つことを言う。すなわち、${\displaystyle (T^{*}T)^{p}-(TT^{*})^{p}}$ が正作用素であることを言う。${\displaystyle p=1}$ なら、T はハイポノーマル作用素と呼ばれる。${\displaystyle p=1/2}$ なら、T は半ハイポノーマル作用素と呼ばれる。さらに、T が log-ハイポノーマルであるとは、それが可逆で

${\displaystyle \log(T^{*}T)\geq \log(TT^{*})}$

を満たすことを言う。可逆な p-ハイポノーマル作用素は log-ハイポノーマルである。一方、すべての log-ハイポノーマル作用素が p-ハイポノーマルであるという訳ではない。

半ハイポノーマル作用素の類は Xia によって導入され、p-ハイポノーマル作用素の類はアルスゲ（Aluthge）によって研究された。アルスゲの使用した手法は今日、アルスゲ変換と呼ばれている。

すべての部分正規作用素（英語版）（特に、正規作用素）はハイポノーマルであり、すべてのハイポノーマル作用素はパラノーマルな凸型作用素（英語版）である。しかしすべてのパラノーマル作用素がハイポノーマルであるという訳ではない。

関連項目

• パットナムの不等式

参考文献

• http://www.jstor.org/pss/2162263

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