原文と比べた結果、この記事には多数の（または内容の大部分に影響ある）誤訳 があることが判明しています。情報の利用には注意してください。 正確な表現に改訳できる方を求めています。
アンリ・パデ 数学 においてパデ近似 （パデきんじ、英 : Padé approximant ）とは、関数を近似する「最良」の有理関数 のこと。たとえば
x
/
(
1
+
1
2
x
)
{\displaystyle x/(1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x)}
log (1 + x ) のパデ近似のひとつである：
log
(
1
+
x
)
=
x
1
+
1
2
x
+
O
(
x
3
)
.
{\displaystyle \log(1+x)={\frac {x}{1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x}}+O(x^{3}).}
パデ近似のテイラー級数 は関数のテイラー級数と与えられた次数まで一致する。この近似法は1890年 頃にアンリ・パデ （英語版 ） 冪級数 の有理関数による近似という考えを始め、その特徴を研究したのはゲオルク・フロベニウス にまで遡る。
多くの場合、パデ近似は、 テイラー級数を有限項で打ち切ったものよりも良い近似を与えるが、テイラー級数が収束 しない場合にも機能する。 これらの理由から、パデ近似はコンピューター計算で広く使用されている。 また、パデ近似は ディオファントス近似 および超越数論において補助関数 （英語版 ）
また、有理関数を近似に用いたことによる人工的な特異点が発生するおそれがあるが、これはボレル・パデ解析 によって回避することができる。
パデ近似がマクローリン展開 よりも良い近似になりやすい理由は、多点総和法 の観点から見れば明らかである。それは無限遠での漸近展開が0や定数になる例が多いため、｢不完全な2点パデ近似｣として、通常のパデ近似がマクローリン展開を改良しているものと解釈出来るからである。
滑らかな関数 f (x ) と非負整数 m , n に対して f (x ) の [m /n ] 次パデ近似 とは有理関数
R
(
x
)
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
⋯
+
a
m
x
m
1
+
b
1
x
+
b
2
x
2
+
⋯
+
b
n
x
n
{\displaystyle R(x)={\frac {a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{m}x^{m}}{1+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\dots +b_{n}x^{n}}}}
であって
f
(
k
)
(
0
)
=
R
(
k
)
(
0
)
(
0
≤
k
≤
m
+
n
)
{\displaystyle f^{(k)}(0)=R^{(k)}(0)\qquad (0\leq k\leq m+n)}
を満たすものをいう。（特に n = 0 のときは原点における m 次テイラー多項式 に他ならない。）
有理関数 R (x ) の原点におけるテイラー級数 は先頭の m + n + 1 項が f (x ) のそれと相殺され、
f
(
x
)
=
R
(
x
)
+
O
(
x
m
+
n
+
1
)
{\displaystyle f(x)=R(x)+O(x^{m+n+1})}
となる。
パデ近似は与えられた非負整数 m , n に対して（存在すれば）一意的に決まる。つまり係数
a
0
,
a
1
,
…
,
a
m
,
b
1
,
…
,
b
n
{\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n}}
R (x ) における分母の定数項として 1 を選ぶのはこの一意性のためであり、この正規化をしない場合には分母と分子に対して共通の任意の非零の定数を乗じる自由度が残るために一意性が成り立たない。
このように定義されたパデ近似 R (x ) を
[
m
/
n
]
f
(
x
)
{\displaystyle [m/n]_{f}(x)}
と表し（関数 f や変数 x は省略されることもある）、これらを並べた表をパデ表 （英語版 ）
指数関数 exp(x ) のパデ表 [m /n ](x )の一部
m n 0 1 2 3
0
1
1
{\displaystyle {\frac {1}{1}}}
1
1
−
x
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}}
1
1
−
x
+
1
2
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{1-x+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x^{2}}}}
1
1
−
x
+
1
2
x
2
−
1
6
x
3
{\displaystyle {\frac {1}{1-x+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}x^{3}}}}
1
1
+
x
1
{\displaystyle {\frac {1+x}{1}}}
1
+
1
2
x
1
−
1
2
x
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x}}}
1
+
1
3
x
1
−
2
3
x
+
1
6
x
2
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}x}{1-{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}x^{2}}}}
1
+
1
4
x
1
−
3
4
x
+
1
4
x
2
−
1
24
x
3
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}x}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{4}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}x^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{24}}}x^{3}}}}
2
1
+
x
+
1
2
x
2
1
{\displaystyle {\frac {1+x+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x^{2}}{1}}}
1
+
2
3
x
+
1
6
x
2
1
−
1
3
x
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{3}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}x^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{3}}}x}}}
1
+
1
2
x
+
1
12
x
2
1
−
1
2
x
+
1
12
x
2
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{12}}}x^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{12}}}x^{2}}}}
1
+
2
5
x
+
1
20
x
2
1
−
3
5
x
+
3
20
x
2
−
1
60
x
3
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {2}{5}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{20}}}x^{2}}{1-{\scriptstyle {\frac {3}{5}}}x+{\scriptstyle {\frac {3}{20}}}x^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{60}}}x^{3}}}}
3
1
+
x
+
1
2
x
2
+
1
6
x
3
1
{\displaystyle {\frac {1+x+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{6}}}x^{3}}{1}}}
1
+
3
4
x
+
1
4
x
2
+
1
24
x
3
1
−
1
4
x
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {3}{4}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}x^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{24}}}x^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{4}}}x}}}
1
+
3
5
x
+
3
20
x
2
+
1
60
x
3
1
−
2
5
x
+
1
20
x
2
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {3}{5}}}x+{\scriptstyle {\frac {3}{20}}}x^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{60}}}x^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {2}{5}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{20}}}x^{2}}}}
1
+
1
2
x
+
1
10
x
2
+
1
120
x
3
1
−
1
2
x
+
1
10
x
2
−
1
120
x
3
{\displaystyle {\frac {1+{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{10}}}x^{2}+{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}x^{3}}{1-{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}x+{\scriptstyle {\frac {1}{10}}}x^{2}-{\scriptstyle {\frac {1}{120}}}x^{3}}}}
たとえば指数関数 exp(x ) の [m /n ] 次パデ近似は一般化された超幾何関数 を用いて
[
m
/
n
]
(
x
)
=
1
F
1
(
−
m
−
m
−
n
;
x
)
/
1
F
1
(
−
n
−
m
−
n
;
−
x
)
{\displaystyle [m/n](x)={}_{1}F_{1}\left({\scriptstyle {\begin{matrix}-m\\-m-n\end{matrix}}};x\right){\big /}{}_{1}F_{1}\left({\scriptstyle {\begin{matrix}-n\\-m-n\end{matrix}}};-x\right)}
と表される。
指定されたx に対して 、パデ近似はWynnのイプシロン・アルゴリズム[1] f のテイラー級数 の部分和
T
N
(
x
)
=
c
0
+
c
1
x
+
c
2
x
2
+
⋯
+
c
N
x
N
{\displaystyle T_{N}(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{N}x^{N}}
から数列の変形によって計算することもできる[2]
c
k
=
f
(
k
)
(
0
)
k
!
.
{\displaystyle c_{k}={\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}.}
f は形式的なべき級数 としてもよく、そのため、パデ近似を発散級数 の総和をとるという目的で使用することもできる。
パデ近似を計算する1つの方法は、 多項式最大公約数の拡張ユークリッドアルゴリズムを使用することである。 [3]
R
(
x
)
=
P
(
x
)
/
Q
(
x
)
=
T
m
+
n
(
x
)
mod
x
m
+
n
+
1
{\displaystyle R(x)=P(x)/Q(x)=T_{m+n}(x){\text{ mod }}x^{m+n+1}}
は、次のような因子K (x ) の存在と同値である：
P
(
x
)
=
Q
(
x
)
T
m
+
n
(
x
)
+
K
(
x
)
x
m
+
n
+
1
.
{\displaystyle P(x)=Q(x)T_{m+n}(x)+K(x)x^{m+n+1}.}
これは、
T
m
+
n
(
x
)
{\displaystyle T_{m+n}(x)}
x
m
+
n
+
1
{\displaystyle x^{m+n+1}}
ベズー恒等式 として解釈できる。
2つの多項式 p と q の最大公約数を計算するには、筆算によって余りの列
r
0
=
p
,
r
1
=
q
,
r
k
−
1
=
q
k
r
k
+
r
k
+
1
,
deg
r
k
+
1
<
deg
r
k
(
k
=
1
,
2
,
3...
)
{\displaystyle r_{0}=p,\;r_{1}=q,\quad r_{k-1}=q_{k}r_{k}+r_{k+1},\;\deg r_{k+1}<\deg r_{k}\;(k=1,2,3...)}
を
r
k
+
1
=
0
{\displaystyle r_{k+1}=0}
u
0
=
1
,
v
0
=
0
,
u
1
=
0
,
v
1
=
1
,
u
k
+
1
=
u
k
−
1
−
q
k
u
k
,
v
k
+
1
=
v
k
−
1
−
q
k
v
k
{\displaystyle u_{0}=1,\;v_{0}=0,\quad u_{1}=0,\;v_{1}=1,\quad u_{k+1}=u_{k-1}-q_{k}u_{k},\;v_{k+1}=v_{k-1}-q_{k}v_{k}}
を同時に計算する。これによって、各ステップでベズー恒等式
r
k
(
x
)
=
u
k
(
x
)
p
(
x
)
+
v
k
(
x
)
q
(
x
)
.
{\displaystyle r_{k}(x)=u_{k}(x)p(x)+v_{k}(x)q(x).}
を得る。
[m /n ]近似の場合、次の拡張ユークリッドアルゴリズムを実行する。
r
0
=
x
m
+
n
+
1
,
r
1
=
T
m
+
n
(
x
)
{\displaystyle r_{0}=x^{m+n+1},\;r_{1}=T_{m+n}(x)}
そして
v
k
{\displaystyle v_{k}}
n 以下である最後の段階にそれを停止する。
次に、多項式
P
=
r
k
,
Q
=
v
k
{\displaystyle P=r_{k},\;Q=v_{k}}
m / n ]パデ近似を与える。拡張最大公約数計算のすべてのステップを計算すると、 パデ表の対角線が得られる。
発散級数 の再足し上げ(resummation)、すなわち
∑
z
=
1
∞
f
(
z
)
{\displaystyle \sum _{z=1}^{\infty }f(z)}
を調べるには、パデまたは単に有理ゼータ関数を次のように導入すると便利である。
ζ
R
(
s
)
=
∑
z
=
1
∞
R
(
z
)
z
s
,
{\displaystyle \zeta _{R}(s)=\sum _{z=1}^{\infty }{\frac {R(z)}{z^{s}}},}
ここで、
R
(
x
)
=
[
m
/
n
]
f
(
x
)
{\displaystyle R(x)=[m/n]_{f}(x)\,}
は関数f (x )の次数 (m ,n ) のパデ近似である。 s = 0での ゼータ正則化 値は、発散級数の和と見なされる。
このパデゼータ関数の関数方程式は次のとおりである。
∑
j
=
0
n
a
j
ζ
R
(
s
−
j
)
=
∑
j
=
0
m
b
j
ζ
0
(
s
−
j
)
,
{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}a_{j}\zeta _{R}(s-j)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}\zeta _{0}(s-j),}
ここで、a j とb j はパデ近似の係数である。下付き文字「0」は、パデが次数[0/0]であることを意味する。したがって、この場合リーマンゼータ関数となる。
パデ近似は、1つの変数で関数を近似する。2つの変数による近似は、チザム近似（J.S.R. Chisholmにちなむ） [4] [5]
正弦関数 sin(x) [7]
sin
(
x
)
≈
(
12671
/
4363920
)
x
5
−
(
2363
/
18183
)
x
3
+
x
1
+
(
445
/
12122
)
x
2
+
(
601
/
872784
)
x
4
+
(
121
/
16662240
)
x
6
{\displaystyle \sin(x)\approx {\frac {(12671/4363920)x^{5}-(2363/18183)x^{3}+x}{1+(445/12122)x^{2}+(601/872784)x^{4}+(121/16662240)x^{6}}}}
指数関数 exp(x) [8]
exp
(
x
)
≈
1
+
(
1
/
2
)
x
+
(
1
/
9
)
x
2
+
(
1
/
72
)
x
3
+
(
1
/
1008
)
x
4
+
(
1
/
30240
)
x
5
1
−
(
1
/
2
)
x
+
(
1
/
9
)
x
2
−
(
1
/
72
)
x
3
+
(
1
/
1008
)
x
4
−
(
1
/
30240
)
x
5
{\displaystyle \exp(x)\approx {\frac {1+(1/2)x+(1/9)x^{2}+(1/72)x^{3}+(1/1008)x^{4}+(1/30240)x^{5}}{1-(1/2)x+(1/9)x^{2}-(1/72)x^{3}+(1/1008)x^{4}-(1/30240)x^{5}}}}
ヤコビの楕円関数 sn(z|3) [9]
s
n
(
z
|
3
)
≈
−
(
9851629
/
283609260
)
z
5
−
(
572744
/
4726821
)
z
3
+
z
1
+
(
859490
/
1575607
)
z
2
−
(
5922035
/
56721852
)
z
4
+
(
62531591
/
2977897230
)
z
6
{\displaystyle \mathrm {sn} (z|3)\approx {\frac {-(9851629/283609260)z^{5}-(572744/4726821)z^{3}+z}{1+(859490/1575607)z^{2}-(5922035/56721852)z^{4}+(62531591/2977897230)z^{6}}}}
ベッセル関数 J5 (x)
J
5
(
x
)
≈
−
(
107
/
28416000
)
x
7
+
(
1
/
3840
)
x
5
1
+
(
151
/
5550
)
x
2
+
(
1453
/
3729600
)
x
4
+
(
1339
/
358041600
)
x
6
+
(
2767
/
120301977600
)
x
8
{\displaystyle J_{5}(x)\approx {\frac {-(107/28416000)x^{7}+(1/3840)x^{5}}{1+(151/5550)x^{2}+(1453/3729600)x^{4}+(1339/358041600)x^{6}+(2767/120301977600)x^{8}}}}
誤差関数 erf(x)
erf
(
x
)
≈
(
2
/
15
)
⋅
(
49140
x
+
3570
x
3
+
739
x
5
)
π
⋅
(
165
x
4
+
1330
x
2
+
3276
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {(2/15)\cdot (49140x+3570x^{3}+739x^{5})}{{\sqrt {\pi }}\cdot (165x^{4}+1330x^{2}+3276)}}}
フレネル積分 C(x)
C
(
x
)
≈
(
1
/
135
)
⋅
(
990791
x
9
π
4
−
147189744
x
5
π
2
+
8714684160
x
)
(
1749
π
4
x
8
+
523536
π
2
x
4
+
64553216
)
{\displaystyle C(x)\approx {\frac {(1/135)\cdot (990791x^{9}\pi ^{4}-147189744x^{5}\pi ^{2}+8714684160x)}{(1749\pi ^{4}x^{8}+523536\pi ^{2}x^{4}+64553216)}}}
↑ Theorem 1 in Wynn, Peter (Mar 1966), “On the Convergence and Stability of the Epsilon Algorithm” , SIAM Journal on Numerical Analysis 3 (1): 91–122, Bibcode : 1966SJNA....3...91W , doi :10.1137/0703007 , JSTOR 2949688 , https://jstor.org/stable/2949688 ↑ Brezenski, C. (1996), “Extrapolation algorithms and Padé approximations”, Applied Numerical Mathematics 20 (3): 299–318, doi :10.1016/0168-9274(95)00110-7 ↑ Problem 5.2b and Algorithm 5.2 (p. 46) in Bini, Dario; Pan, Victor (1994), Polynomial and Matrix computations - Volume 1. Fundamental Algorithms , Progress in Theoretical Computer Science, Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3786-6 ↑ Chisholm, J. S. R. (1973). “Rational approximants defined from double power series”. Mathematics of Computation 27 (124): 841–848. doi :10.1090/S0025-5718-1973-0382928-6 . ISSN 0025-5718 . ↑ Graves-Morris, P.R.; Roberts, D.E. (1975). “Calculation of Canterbury approximants”. Computer Physics Communications 10 (4): 234–244. Bibcode : 1975CoPhC..10..234G . doi :10.1016/0010-4655(75)90068-5 . 1 2 3 4 上岡, 良季. 多点総和法入門 高校生でもわかる！！ココと無限のかなたをつなぐ現代応用数学: テイラー展開から微分方程式の応用まで . https://www.amazon.co.jp/dp/B08DV9TZVD/ ↑ “sin(x)のパデ近似 ”. Wolfram Alpha . 2022年1月16日 閲覧。 ↑ “exp(x)のパデ近似 ”. Wolfram Alpha . 2022年1月16日 閲覧。 ↑ “sn(x|3)のパデ近似 ”. Wolfram Alpha . 2022年1月16日 閲覧。
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