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ヘーグナー数

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数論におけるヘーグナー数 (英: Heegner number)（コンウェイとガイによる命名）とは、虚二次体 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]$ の類数が $1$ となる平方因子を持たない正の整数 $d$ のことである。言い換えれば、その整数環は一意な分解を持つ^[1]。

このような数は類数問題の特別なケースから定まるとともに、数論におけるいくつかの注目すべき結果の根底にある。

（ベイカー・）スターク・ヘーグナーの定理によれば、ヘーグナー数は正確に9つ存在する。

1,2,3,7,11,19,43,67,163

オンライン整数列大辞典の数列 A003173

この結果はガウスによって予想され、1952年にクルト・ヘーグナー（英語版）によって軽微な誤りを含む証明がなされた。アラン・ベイカーとハロルド・スターク（英語版）は1966年に結果を独立して証明し、スタークはさらにヘーグナーの証明の誤りは軽微であることを示した^[2]。

オイラーの素数生成多項式

n = 1, ..., 40 に対して素数を与えるオイラーの素数生成多項式（英語版）

n^{2}-n+41

は、ヘーグナー数 163 = 4・41 − 1 と対応している。

オイラーの式において $n$ が 1, ..., 40 の値をとるとすると、 $n$ が 1, ..., 39 の値をとる以下の式と等価である。

n^{2}+n+41

ラビノヴィッチ（英語版） ^[3]は

n^{2}+n+p\,

について、判別式 $1-4p$ がヘーグナー数にマイナスを付けたものの場合、またそのときに限り、 $n=0,\dots ,p-2$ に対して素数を与えることを証明した。

（なお $p-1$ を代入すると $p^{2}$ となるため、 $p-2$ が n の最大値となる。）

$4p-1=1,2,3$ を満たす p が存在しないため、機能するヘーグナー数は $7,11,19,43,67,163$ であり、これらはオイラーの形の素数生成式における $p=2,3,5,11,17,41$ にそれぞれ対応する。特にこれらの p は、リヨネ（英語版）によってオイラーの幸運数（英語版）と呼ばれている^[4]。

ほとんど整数とラマヌジャンの定数

ラマヌジャンの定数とは超越数^[5] $e^{\pi {\sqrt {163}}}$ のことであり、整数に非常に近い（英語版）という点でほとんど整数である。

e^{\pi {\sqrt {163}}}=262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots

^[6]

\approx 640\,320^{3}+744.

この数は、1859年に数学者シャルル・エルミートによって発見された^[7]。サイエンティフィック・アメリカン誌の1975年エイプリルフールの記事^[8] 「数学的ゲーム」のコラムニストであるマーティン・ガードナーは、「その数は実際に整数であり、インドの天才数学者シュリニヴァーサ・ラマヌジャンが予測していた」という話をでっち上げたことから、この名前がついた。

この偶然性は、虚数乗法とj-不変量のq-展開によって説明できる。

詳細

簡単に言えば、ヘーグナー数 d に対して $j((1+{\sqrt {-d}})/2)$ は整数であり、 $e^{\pi {\sqrt {d}}}\approx -j((1+{\sqrt {-d}})/2)+744$ が q -展開によって示される。

もし $\tau$ が二次無理数とすると、j-不変量は次数 $|{\mbox{Cl}}(\mathbf {Q} (\tau ))|$ の代数的整数であり、 $\mathbf {Q} (\tau )$ の類数と $\mathbf {Q} (\tau )$ が満たす最小（モニック整数）多項式は、「ヒルベルト類多項式 (Hilbert class polynomial)」と呼ばれる。したがって、虚数の2次拡大体 $\mathbf {Q} (\tau )$ の類数が 1 であれば（つまり d はヘーグナー数）、 j-不変量は整数となる。

フーリエ級数展開を $q=\exp(2\pi i\tau )$ のローラン級数として表した j の q-展開は、最初の3項は以下のとおりである：

j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196\,884q+\cdots

ローラン級数の係数 $c_{n}$ は漸近的に $\ln(c_{n})\sim 4\pi {\sqrt {n}}+O(\ln(n))$ のように増大し、また低次の係数の増大が $200\,000^{n}$ よりも遅いため、 $q\ll 1/200\,000$ において、 j は最初の2つの項で非常によく近似される。 $\tau =(1+{\sqrt {-163}})/2$ とすると $q=-\exp(-\pi {\sqrt {163}})$ つまり ${\frac {1}{q}}=-\exp(\pi {\sqrt {163}})$ となる。ここで $j((1+{\sqrt {-163}})/2)=(-640\,320)^{3}$ とすると、以下の式が得られる。

(-640\,320)^{3}=-e^{\pi {\sqrt {163}}}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right).

これはすなわち

e^{\pi {\sqrt {163}}}=640\,320^{3}+744+O\left(e^{-\pi {\sqrt {163}}}\right)

であり、誤差の線形項は

-196\,884/e^{\pi {\sqrt {163}}}\approx -196\,884/(640\,320^{3}+744)\approx -0.000\,000\,000\,000\,75

となるため、 $e^{\pi {\sqrt {163}}}$ が上記の範囲でほぼ整数である理由となる。

円周率の式

1987年、チュドノフスキー兄弟（英語版）は以下の式を発見した。

{\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640\,320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(163\cdot 3\,344\,418k+13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^{3}(-640\,320)^{3k}}}

これは、 $j\left({\tfrac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)=-640\,320^{3}$ という事実を用いている。同様の式については、ラマヌジャン・佐藤級数（英語版）を参照せよ。

その他のヘーグナー数

大きい方から4つのヘーグナー数について、以下の近似が得られる^[9] 。

{\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 96^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 960^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 5\,280^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640\,320^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}

あるいは、 ^[10]

{\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 12^{3}(3^{2}-1)^{3}+744-0.22\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 12^{3}(9^{2}-1)^{3}+744-0.000\,22\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 12^{3}(21^{2}-1)^{3}+744-0.000\,0013\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 12^{3}(231^{2}-1)^{3}+744-0.000\,000\,000\,000\,75\end{aligned}}

ここで2乗の理由は、特定のアイゼンシュタイン級数によるものである。 $d<19$ のヘーグナー数についてはほとんど整数となる近似を得られず、 $d=19$ さえ注目に値しない^[11]。整数の j-不変量は細かく因数分解可能であるが、これは $12^{3}(n^{2}-1)^{3}=(2^{2}\cdot 3\cdot (n-1)\cdot (n+1))^{3}$ ということに従う。素因数は以下のとおりである。

{\begin{aligned}j((1+{\sqrt {-19}})/2)&=96^{3}=(2^{5}\cdot 3)^{3}\\j((1+{\sqrt {-43}})/2)&=960^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5)^{3}\\j((1+{\sqrt {-67}})/2)&=5\,280^{3}=(2^{5}\cdot 3\cdot 5\cdot 11)^{3}\\j((1+{\sqrt {-163}})/2)&=640\,320^{3}=(2^{6}\cdot 3\cdot 5\cdot 23\cdot 29)^{3}.\end{aligned}}

これらの超越数は、（単に次数 1 の代数的数である）整数によるよい近似のほかに、次数 3 の代数的数によってもよく近似できる^[12]。

{\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx x^{24}-24.000\,31;\ \ \qquad \qquad \qquad x^{3}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,31;\qquad \qquad \quad x^{3}-2x^{2}-2=0\\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,001\,9;\qquad \qquad x^{3}-2x^{2}-2x-2=0\\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011;\quad x^{3}-6x^{2}+4x-2=0\end{aligned}}

3次式の根は、24番目の根を含むモジュラー関数であるデデキントのイータ関数 η(τ)の商によって正確に与えられ、これが近似における数値 24 の理由となる。また、次数4の代数的数によっても近似できる^[13]。

{\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx 3^{5}\left(3-{\sqrt {2(1-96/24+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}\right)^{-2}-12.000\,06\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx 3^{5}\left(9-{\sqrt {2(1-960/24+7{\sqrt {3\cdot 43}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx 3^{5}\left(21-{\sqrt {2(1-5\,280/24+31{\sqrt {3\cdot 67}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 3^{5}\left(231-{\sqrt {2(1-640\,320/24+2\,413{\sqrt {3\cdot 163}})}}\right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{aligned}}

括弧内の式を $x$ とおくと（例： $x=3-{\sqrt {2(1-96/24+1{\sqrt {3\cdot 19}})}}$ ）、 $x$ はそれぞれ四次方程式を満たす。

{\begin{aligned}&x^{4}-4\cdot 3x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(96+3)x^{2}\qquad \quad -{\tfrac {2}{3}}\cdot 3(96-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 9x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(960+3)x^{2}\ \ \quad \quad -{\tfrac {2}{3}}\cdot 9(960-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 21x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(5\,280+3)x^{2}\quad \ \;-{\tfrac {2}{3}}\cdot 21(5\,280-6)x-3=0\\&x^{4}-4\cdot 231x^{3}+{\tfrac {2}{3}}(640\,320+3)x^{2}-{\tfrac {2}{3}}\cdot 231(640\,320-6)x-3=0\\\end{aligned}}

整数 $n=3,9,21,231$ の再出現と、以下の事実に注意せよ。

{\begin{aligned}&2^{6}\cdot 3(-(1-96/24)^{2}+1^{2}\cdot 3\cdot 19)=96^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-960/24)^{2}+7^{2}\cdot 3\cdot 43)=960^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-5\,280/24)^{2}+31^{2}\cdot 3\cdot 67)=5\,280^{2}\\&2^{6}\cdot 3(-(1-640\,320/24)^{2}+2413^{2}\cdot 3\cdot 163)=640\,320^{2}\end{aligned}}

これは、適切な分数累乗を与えれば、正確に j-不変量である。

同様に、次数 6 の代数的数では以下のようになる。

{\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {19}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {43}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,010\dots \\e^{\pi {\sqrt {67}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,000\,061\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx (5x)^{3}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}

ここで、x はそれぞれ六次式の適切な根によって与えられる。

{\begin{aligned}&5x^{6}-96x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-960x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-5\,280x^{5}-10x^{3}+1=0\\&5x^{6}-640\,320x^{5}-10x^{3}+1=0\end{aligned}}

ここで j-不変量が再び現れる。これらの六次方程式は代数的であるだけでなく、拡大体 $\mathbb {Q} ({\sqrt {5}})$ ^[14] の上で2つの三次式に因数分解される（最初の因数はさらに2つの二次式に分解できる）ので、冪根によって解ける。これらの代数的近似は、デデキント・イータ商で正確に表現できる。例として、 $\tau =(1+{\sqrt {-163}})/2$ とすると、

{\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/24}\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/12}\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \\e^{\pi {\sqrt {163}}}&=\left({\frac {e^{\pi i/6}\eta (\tau )}{\eta (5\tau )}}\right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{aligned}}

ここで、イータ商は上記の代数的数である。

類数 2 の数値

類数 $2$ を持つ虚二次体 $\mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]$ を与える3つの数字 $88,148,232$ は、ヘーグナー数とは見なされないが、ほとんど整数という点で同様の特性を有する。たとえば、

{\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {88}}}+8\,744\approx \quad \quad 2\,508\,952^{2}&-.077\dots \\e^{\pi {\sqrt {148}}}+8\,744\approx \quad 199\,148\,648^{2}&-.000\,97\dots \\\ e^{\pi {\sqrt {232}}}+8\,744\approx 24\,591\,257\,752^{2}&-.000\,0078\dots \\\end{aligned}}

そして

{\begin{aligned}e^{\pi {\sqrt {22}}}-24&\approx (6+4{\sqrt {2}})^{6}\quad +.000\,11\dots \\e^{\pi {\sqrt {37}}}{\color {red}+}\,24&\approx (12+2{\sqrt {37}})^{6}-.000\,0014\dots \\e^{\pi {\sqrt {58}}}-24&\approx (27+5{\sqrt {29}})^{6}-.000\,000\,0011\dots \\\end{aligned}}

連続素数

p を奇素数として、 $k=0,1,\dots ,(p-1)/2$ に対して $k^{2}{\pmod {p}}$ を計算すると（ $(p-k)^{2}\equiv k^{2}{\pmod {p}}$ なので、k の範囲はこれで十分である）、 p がヘーグナー数である場合、またそのときに限り、連続する素数に続いて連続する合成数が得られる^[15]。

詳細については、リチャード・モリン(Richard Mollin)の "Quadratic Polynomials Producing Consecutive Distinct Primes and Class Groups of Complex Quadratic Fields" を参照せよ^[16]。