マギーグラフ

マギーグラフ
命名者	W. F. McGee
頂点	24
辺	36
半径	4
直径	4[1]
内周	7[1]
自己同型	32[1]
彩色数	3[1]
彩色指数	3[1]
特性	立方体グラフ ケージ ハミルトングラフ
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マギーグラフとは、グラフ理論のグラフの1つであり、24頂点、36辺の、3-正則グラフである^[1]。(3-7)-ケージ とも呼ばれる。

マギーグラフは (3,7)-ケージの唯一の例であり、 内周が7である立方体グラフの最小の例である。また、立方体グラフかつケージで、ムーアグラフではない最小のグラフである。

Sachsがマギーグラフを最初に見つけたが、発表しなかった^[2]。その結果、1960年に発表したマギーにちなんで、このグラフはマギーグラフと名付けられた^[3]。その後、1966年にウィリアム・トーマス・タット（英語版）により、マギーグラフは (3,7)-ケージの唯一の例であることが証明された^[4][5][6]。

マギーグラフは平面グラフにすると8箇所以上で交叉する。つまり、マギーグラフの交叉数_(グラフ理論)（英語版）は8である。交叉数が8となる最小な立方体グラフには5つの非同型なグラフがあり、マギーグラフはその1つである。一般化ピーターセングラフ（ナウルグラフ（英語版））もその1つであるG(12,5)^[7][8]。

マギーグラフの距離（英語版）は 4、直径は 4、彩色数は 3 、彩色指数は 3である。マギーグラフは 3-頂点連結グラフ であり 3-辺連結グラフである。 本型埋め込み((book embedding)の厚み(book thickness)は 3 であり、queue numberは 2である^[9]。

代数的性質

マギーグラフの特性多項式は${\displaystyle x^{3}(x-3)(x-2)^{3}(x+1)^{2}(x+2)(x^{2}+x-4)(x^{3}+x^{2}-4x-2)^{4}}$である。 マギーグラフの自己同型群の位数は 32 であり、その頂点は推移的ではない。つまり、長さ8や16の2つの頂点軌道をもつ。マギーグラフはvertex-transitive graphではない（頂点が推移的でない）最小の立方体グラフである^[10]・

ギャラリー

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  マギーグラフの交叉数は8
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  マギーグラフの彩色数は3
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  マギーグラフの彩色指数は3である
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  マギーグラフの非循環彩色数は3である
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  マギーグラフの他の表現

注釈・出典