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ミケルの定理

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ミケルの定理（みけるのていり、英語: Miquel's theorem）はフランスの高校教師であるオーギュスト・ミケルの名を冠する幾何学の諸定理である^[1]。一般にミケルの定理と言えば、次の定理を指す。

三角形の3辺またはその延長（英語版）に点を一つずつとる。うち2点と、その間の三角形の頂点を通る円は、一点で交わる。

他のミケルの定理と区別して、ミケルの三角形定理とも呼ばれる^[2]。ミケルの発見した諸定理は、ジョゼフ・リウヴィルのJournal de Mathématiques Pures et Appliquées によって出版された。

厳密にいうと、ある $△ ABC$ について、直線 $BC, CA, AB$ 上にそれぞれ点 $A', B', C'$ をとり、 $△ A'B'C, △ B'C'A, △ C'A'B$ の外接円を描く。3つのミケル円は一点で交わる。さらに3つの角 $∠ MA'C, ∠ MB'A, ∠ MC'B$ は等しくまた、 $∠ MA'B, ∠ MB'C, ∠ MC'A$ も等しい^[3]^[4]。

この定理は、内接四角形の角の性質と有向角を用いることで示すことができる。円 $A'B'C, AB'C'$ の交点 $M\neq B'$ について $\angle A'MC'=2\pi -\angle B'MA'-\angle C'MB'=2\pi -(\pi -C)-(\pi -A)=A+C=\pi -B$ と角度追跡することにより $BA'MC'$ の共円が示されてミケルの定理を得る。

Pivot theorem

ミケルの定理を共線でない3点 $A', B', C'$ の成す三角形に着目した場合はForder (1960, p. 17)によってPivot theorem（ミケルの要の定理^[5]）と名づけられている^[6]。

ミケル点の三線座標

$A', B', C'$ の $BC, CA, AB$ に対するfractional distances（線分の長さを1とした時の、線分の始点からの距離）をそれぞれ $d a, d b, d c$ 、線分 $BC, CA, AB$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ としてそのミケル点の三線座標 $(x, y, z)$ は以下の式で表される。

x=a\left(-a^{2}d_{a}d_{a}'+b^{2}d_{a}d_{b}+c^{2}d_{a}'d_{c}'\right)

y=b\left(a^{2}d_{a}'d_{b}'-b^{2}d_{b}d_{b}'+c^{2}d_{b}d_{c}\right)

z=c\left(a^{2}d_{a}d_{c}+b^{2}d_{b}'d_{c}'-c^{2}d_{c}d_{c}'\right),

ただし $d' a = 1 - d a, d' b = 1 - d b, d' c = 1 - d c$ である。

$d a = d b = d c =1/2$ である場合、ミケル点は外心 $(cos α : cos β : cos γ)$ になる。

ミケルの定理の逆

ミケルの定理の逆は次のような定理である。点 $M$ を通る3円について、1つの円上に点 $A$ をとり、2つ目の円との $M$ でないほうの交点の一つを $C'$ として、直線 $AC'$ と2つ目の円の $C'$ でない方の交点を $B$ とする。同様に、3つ目の円に対して $B$ から $A',C$ をつくる。このとき点 $A,C,B'$ は共線であり、 $△ ABC$ の辺上に $A', B', C'$ が存在する。

相似な内接三角形

$△ XYZ$ が三角形 $△ ABC$ に内接し相似であるとき、任意の $△ XYZ$ において、そのミケル点は不動である^[7]^{:p. 257}。

ミケルの四辺形定理

完全四辺形（英語版）の辺から成る4つの三角形の外接円は一点で交わる^[8]。これをミケルの四辺形定理またはミケルとシュタイナーの四辺形定理（Miquel and Steiner's Quadrilateral Theorem）という。また、この共点を四辺形のミケル点という。

この定理は、1827,1828年にヤコブ・シュタイナーによってジョセフ・ジェルゴンヌの出版物（Annales de Gergonne）で発表されたが、厳密な証明はミケルによって与えられた^[8]^[9]。

ミケルの五点円定理

凸な五角形 $ABCDE$ について、その辺を延長し星形五角形 $FGHIK$ をつくる。5つの円 $CFD, DGE, EHA, AIB, BKC$ の、隣り合う円の元の五角形の頂点でない方の交点は共円である^[10]。これをミケルの五点円定理（Miquel's pentagon theorem）という。この定理の逆として、五円定理が知られている。

ミケルの六円定理

円上に四点 $A,B,C,D$ をとり、隣り合う2点を通る円延べ4円を描く。それぞれの円について、4円の隣り合う円との交点の一方が共円ならば、もう一方の交点も共円である。これをミケルの六円定理（Miquel's six circle theorem）または六円定理（six circles theorem）、四円定理（four circles theorem）という^[11]。ただし、六円定理は別の定理を指すこともある。この定理は一般にはシュタイナーによるものとされているが、証明を行ったのはミケルのみである^[12]。 David G. Wellsはこの定理もMiquel's theoremと呼んでいる^[13]。

三次元におけるミケルの定理

ミケルの定理は三次元に一般化されている。三角形を四面体に、円を球に置き換える。4つの球は一点で交わる^[4]。

出典

↑ A high school teacher in the French countryside (Nantua) according to Ostermann & Wanner 2012, p. 94
↑ 蟹江幸博訳『幾何教程』丸善出版、2017年1月。ISBN 978-4-621-30131-9。
↑ Miquel, Auguste (1838), “Mémoire de Géométrie”, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 1: 485–487, オリジナルの2013-02-13時点におけるアーカイブ。
1 2 Wells 1991, p. 184 - Wells refers to Miquel's theorem as the pivot theorem
↑ 横田捷宏「ミケルの要(pivot)の定理と連鎖円の研究」『初等数学』第71号、2014年、ISSN 1345-739X。
↑ Coxeter & Greitzer 1967, p. 62
↑ Francisco Javier Garc ́ıa Capita ́n, (2016). “Locus of Centroids of Similar Inscribed Triangles”. Forum Geometricorum (vol 16): 257-267.
1 2 Ostermann & Wanner 2012, p. 96
↑ Steiner, J. (1827/1828), “Questions proposées. Théorème sur le quadrilatère complet”, Annales de Mathématiques 18: 302–304
↑ Ostermann & Wanner 2012, pp. 96–97
↑ Pedoe 1988, p. 424
↑ Ostermann & Wanner 2012, p. 352
↑ Wells 1991, pp. 151–2

参考文献

Coxeter, H.S.M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometry Revisited, New Mathematical Library, 19, Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 978-0-88385-619-2, Zbl 0166.16402
Forder, H.G. (1960), Geometry, London: Hutchinson
Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012), Geometry by its History, Springer, ISBN 978-3-642-29162-3
Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometry / A Comprehensive Course, Dover, ISBN 0-486-65812-0
Smart, James R. (1997), Modern Geometries (5th ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3
Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, New York: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6, Zbl 0856.00005

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Miquel's theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
Weisstein, Eric W. "Miquel Five Circles Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
Weisstein, Eric W. "Miquel Pentagram Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
Weisstein, Eric W. "Pivot theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
Miquels' Theorem as a special case of a generalization of Napoleon's Theorem at Dynamic Geometry Sketches
『ミケルの定理とミケル円』 - 高校数学の美しい物語