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メルセンヌ素数と完全数の一覧

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Cuisenaire rods showing the proper divisors of 6 (1, 2, and 3) adding up to 6
完全数としての6の視覚化
A graph plotting years on the x-axis with the number of digits of the largest known prime logarithmically on the y-axis, with two trendlines
最大の素数の桁数の増加を年別で表したグラフ。そのほとんどがメルセンヌ素数である。

メルセンヌ素数と完全数は、数論において深い関係を持つ自然数である。

メルセンヌ素数はマラン・メルセンヌに由来し、2p − 1（pは素数）の形で表される。例えば、3はメルセンヌ素数である（3 = 22 − 1）[1][2]。メルセンヌ素数を構成する指数pは素数でなければならないが、逆は成立しない（211 − 1 = 2047 = 23 × 89）[3]。

完全数は自分自身を除く正の約数の和が自分自身に等しい自然数である。6の正の約数は1, 2, 3であり、1 + 2 + 3 = 6だから、6は完全数である[2][4]。

ユークリッドは紀元前3世紀頃に「Mp = 2p − 1 が素数ならば、 Mp × (Mp+1)/2 = 2p − 1 × (2p − 1) は完全数」ということを証明した。例えば、メルセンヌ素数3（22 − 1 = 3）に対して、完全数は6である（22 − 1 × (22 − 1) = 2 × 3 = 6）。レオンハルト・オイラーがユークリッド・オイラーの定理を証明し、これらがただひとつの偶数の完全数であることを証明した（メルセンヌ素数と偶数の完全数は一対一対応）[1][5][6]。

メルセンヌ素数や完全数が無数にあるかどうかは未解決の問題である。メルセンヌ素数の個数はLenstra–Pomerance–Wagstaff予想の対象であり、与えられたxより小さいメルセンヌ素数の数は (eγ / log 2) × log log x（eはオイラー数、γはオイラーの定数、logは自然対数）に近似されるとしている[7][8][9]。さらに、奇数の完全数の存在は未解決の問題だが[10]、存在するならば101500より大きい数でなければならないことが証明されている[11]。

以下は、2025年1月現在で既知の52個のメルセンヌ素数と対応する完全数、および指数pの一覧である。そのうち最大のメルセンヌ素数18個がGIMPSにより発見された。発見者は「GIMPS / 参加者の名前」の形式で掲載されている[2]。新たなメルセンヌ素数はリュカ–レーマー・テストにより発見されている[2]。判定法の効率性ゆえに、既知の最大の素数の多くがメルセンヌ素数である[12]。

2021年10月現在、48番目（p = 57,885,161）までのすべての可能性がある指数がGIMPSにより検証されている[13]。49番目以降の順位は暫定であり、新たな素数の発見により変動する可能性がある。桁数が多い数は各数値の最初と最後の6桁のみを示している。

順位 p メルセンヌ素数 完全数 発見 出典[14]
数 桁数 数 桁数 日付 発見者 方法
1 2 3 1 6 1 Ancient
times[注釈 1]		 Known to Ancient Greek mathematicians Unrecorded [15][16][17]
2 3 7 1 28 2 [15][16][17]
3 5 31 2 496 3 [15][16][17]
4 7 127 3 8128 4 [15][16][17]
5 13 8191 4 33550336 8 13th century
or 1456[注釈 2]		 Ibn Fallus or anonymous[注釈 3] Trial division [16][17]
6 17 131071 6 8589869056 10 1588年[注釈 2] Pietro Cataldi [2][20]
7 19 524287 6 137438691328 12 [2][20]
8 31 2147483647 10 230584...952128 19 1772年 Leonhard Euler Trial division with modular restrictions [21][22]
9 61 230584...693951 19 265845...842176 37 1883年11月 Ivan Pervushin Lucas sequences [23]
10 89 618970...562111 27 191561...169216 54 1911年6月 Ralph Ernest Powers [24]
11 107 162259...288127 33 131640...728128 65 1914年6月1日 [25]
12 127 170141...105727 39 144740...152128 77 1876年1月10日 Édouard Lucas [26]
13 521 686479...057151 157 235627...646976 314 1952年1月30日 Raphael M. Robinson Lucas–Lehmer test (LLT) on SWAC [27]
14 607 531137...728127 183 141053...328128 366 [27]
15 1,279 104079...729087 386 541625...291328 770 1952年6月25日 [28]
16 2,203 147597...771007 664 108925...782528 1,327 1952年10月7日 [29]
17 2,281 446087...836351 687 994970...915776 1,373 1952年10月9日 [29]
18 3,217 259117...315071 969 335708...525056 1,937 1957年9月8日 Hans Riesel LLT on BESK [30]
19 4,253 190797...484991 1,281 182017...377536 2,561 1961年11月3日 Alexander Hurwitz LLT on IBM 7090 [31]
20 4,423 285542...580607 1,332 407672...534528 2,663 [31]
21 9,689 478220...754111 2,917 114347...577216 5,834 1963年5月11日 Donald B. Gillies LLT on ILLIAC II [32]
22 9,941 346088...463551 2,993 598885...496576 5,985 1963年5月16日 [32]
23 11,213 281411...392191 3,376 395961...086336 6,751 1963年6月2日 [32]
24 19,937 431542...041471 6,002 931144...942656 12,003 1971年3月4日 Bryant Tuckerman LLT on IBM 360/91 [33]
25 21,701 448679...882751 6,533 100656...605376 13,066 1978年10月30日 Landon Curt Noll & Laura Nickel LLT on CDC Cyber 174 [34]
26 23,209 402874...264511 6,987 811537...666816 13,973 1979年2月9日 Landon Curt Noll [34]
27 44,497 854509...228671 13,395 365093...827456 26,790 1979年4月8日 Harry L. Nelson & David Slowinski LLT on Cray-1 [35][36]
28 86,243 536927...438207 25,962 144145...406528 51,924 1982年9月25日 David Slowinski [37]
29 110,503 521928...515007 33,265 136204...862528 66,530 1988年1月29日 Walter Colquitt & Luke Welsh LLT on NEC SX-2 [38][39]
30 132,049 512740...061311 39,751 131451...550016 79,502 1983年9月19日 David Slowinski et al. (Cray) LLT on Cray X-MP [40]
31 216,091 746093...528447 65,050 278327...880128 130,100 1985年9月1日 LLT on Cray X-MP/24 [41][42]
32 756,839 174135...677887 227,832 151616...731328 455,663 1992年2月17日 LLT on Harwell Lab's Cray-2 [43]
33 859,433 129498...142591 258,716 838488...167936 517,430 1994年1月4日 LLT on Cray C90 [44]
34 1,257,787 412245...366527 378,632 849732...704128 757,263 1996年9月3日 LLT on Cray T94 [45][46]
35 1,398,269 814717...315711 420,921 331882...375616 841,842 1996年11月13日 GIMPS / Joel Armengaud LLT / Prime95 on 90 MHz Pentium PC [47]
36 2,976,221 623340...201151 895,932 194276...462976 1,791,864 1997年8月24日 GIMPS / Gordon Spence LLT / Prime95 on 100 MHz Pentium PC [48]
37 3,021,377 127411...694271 909,526 811686...457856 1,819,050 1998年1月27日 GIMPS / Roland Clarkson LLT / Prime95 on 200 MHz Pentium PC [49]
38 6,972,593 437075...193791 2,098,960 955176...572736 4,197,919 1999年6月1日 GIMPS / Nayan Hajratwala LLT / Prime95 on IBM Aptiva with 350 MHz [[Pentium II processor [50]
39 13,466,917 924947...259071 4,053,946 427764...021056 8,107,892 2001年11月14日 GIMPS / Michael Cameron LLT / Prime95 on PC with 800 MHz Athlon T-Bird processor [51]
40 20,996,011 125976...682047 6,320,430 793508...896128 12,640,858 2003年11月17日 GIMPS / Michael Shafer LLT / Prime95 on Dell Dimension PC with 2 GHz Pentium 4 processor [52]
41 24,036,583 299410...969407 7,235,733 448233...950528 14,471,465 2004年5月15日 GIMPS / Josh Findley LLT / Prime95 on PC with 2.4 GHz Pentium 4 processor [53]
42 25,964,951 122164...077247 7,816,230 746209...088128 15,632,458 2005年2月18日 GIMPS / Martin Nowak [54]
43 30,402,457 315416...943871 9,152,052 497437...704256 18,304,103 2005年12月15日 GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone LLT / Prime95 on PC at University of Central Missouri [55]
44 32,582,657 124575...967871 9,808,358 775946...120256 19,616,714 2006年9月4日 [56]
45 37,156,667 202254...220927 11,185,272 204534...480128 22,370,543 2008年9月6日 GIMPS / Hans-Michael Elvenich LLT / Prime95 on PC [57]
46 42,643,801 169873...314751 12,837,064 144285...253376 25,674,127 2009年6月4日[注釈 4] GIMPS / Odd Magnar Strindmo LLT / Prime95 on PC with 3 GHz Intel Core 2 processor [58]
47 43,112,609 316470...152511 12,978,189 500767...378816 25,956,377 2008年8月23日 GIMPS / Edson Smith LLT / Prime95 on Dell OptiPlex PC with Intel Core 2 Duo E6600 processor [57][59][60]
48 57,885,161 581887...285951 17,425,170 169296...130176 34,850,340 2013年1月25日 GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 on PC at University of Central Missouri [61][62]
* 72,072,997 Lowest unverified milestone[注釈 5]
49[注釈 6] 74,207,281 300376...436351 22,338,618 451129...315776 44,677,235 2016年1月7日[注釈 7] GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 on PC with Intel Core i7-4790 processor [63][64]
50[注釈 6] 77,232,917 467333...179071 23,249,425 109200...301056 46,498,850 2017年12月26日 GIMPS / Jonathan Pace LLT / Prime95 on PC with Intel Core i5-6600 processor [65][66]
51[注釈 6] 82,589,933 148894...902591 24,862,048 110847...207936 49,724,095 2018年12月7日 GIMPS / Patrick Laroche LLT / Prime95 on PC with Intel Core i5-4590T processor [67][68]
* 130,439,863 Lowest untested milestone[注釈 5]
52[注釈 6] 136,279,841 881694...871551 41,024,320 388692...008576 82,048,640 2024年10月12日 GIMPS / Luke Durant LLT / PRPLL on Nvidia H100 GPU[注釈 8] [69]

脚注

注釈

  1. ↑ The first four perfect numbers were documented by Nicomachus circa 100, and the concept was known (along with corresponding Mersenne primes) to Euclid at the time of his Elements. There is no record of discovery.
  2. 1 2 Islamic mathematicians such as Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus (1194–1239) may have known of the fifth through seventh perfect numbers prior to European records.[18]
  3. ↑ Found in an anonymous manuscript designated Clm 14908, dated 1456 and 1461. Ibn Fallus' earlier work in the 13th century also mentioned the prime, but was not widely distributed.[16][19]
  4. ↑ M42,643,801 was first reported to GIMPS on April 12, 2009, but was not noticed by a human until June 4, 2009, due to a server error.
  5. 1 2 2025年3月5日現在.[13] All exponents below the lowest unverified milestone have been checked more than once. All exponents below the lowest untested milestone have been checked at least once.
  6. 1 2 3 4 It has not been verified whether any undiscovered Mersenne primes exist between the 48th (M57,885,161) and the 52nd (M136,279,841) on this table; the ranking is therefore provisional.
  7. ↑ M74,207,281 was first reported to GIMPS on September 17, 2015 but was not noticed by a human until January 7, 2016 due to a server error.
  8. ↑ First detected as a probable prime using Fermat primality test on an Nvidia A100 GPU on October 11, 2024

出典

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