ヴァン・ラモン円

ユークリッド幾何学において、ヴァン・ラモン円（ヴァン・ラモンえん、英:van Lamoen circle）またはヴァン・ラモーエン円、ヴァン・ラムーン円は、三角形に対して定義される円の一つである^[1]。

${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ を三角形の頂点、${\displaystyle M_{a}}$,${\displaystyle M_{b}}$,${\displaystyle M_{c}}$を${\displaystyle BC}$,${\displaystyle CA}$,${\displaystyle AB}$の中点、${\displaystyle G}$を重心とする。

6つの円${\displaystyle AGM_{c}}$, ${\displaystyle BGM_{c}}$, ${\displaystyle BGM_{a}}$, ${\displaystyle CGM_{a}}$, ${\displaystyle CGM_{b}}$, ${\displaystyle AGM_{b}}$の中心は同一円周上にある。この円を三角形のヴァン・ラモン円と言う。

歴史

ヴァン・ラモン円の名称は2000年にヴァン・ラモン円に関する問題を提起した フロアー・ヴァン・ラモン（オランダ語版） に由来する^[2]。2001年と2002年にそれぞれ、 Kin Y. Liとthe Amer. Math. Monthlyの編集者が、独自に証明した。

性質

ヴァン・ラモン円の中心はクラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」内で、 ${\displaystyle X(1153)}$ として登録されており、三線座標は以下の式で与えられる^[3]。

${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)}$

ただし

${\displaystyle f(a,b,c)=bc(13a^{2}(b^{2}+c^{2})+10b^{2}c^{2}-10a^{4}-4b^{4}-4c^{4})}$

2003年、Alexey Myakishev とPeter Y. Wooは以下の定理を発表した。

${\displaystyle P}$が垂心か重心であることと、${\displaystyle P}$のチェバ線を${\displaystyle AA'}$, ${\displaystyle BB'}$, ${\displaystyle CC'}$ として6つの円${\displaystyle APB'}$, ${\displaystyle APC'}$, ${\displaystyle BPC'}$, ${\displaystyle BPA'}$, ${\displaystyle CPA'}$, ${\displaystyle CPB'}$の中心が同一円周上にあることは同値である^[4]。

2005年、Nguyen Minh Haはこの定理のより単純な証明を与えた^[5]。

関連

• パリー円
• レスター円

参考文献