三角関数の原始関数の一覧

本項は三角関数を含む式の原始関数の一覧である。式に指数関数を含むものは指数関数の原始関数の一覧を、さらに完全な原始関数の一覧は、原始関数の一覧を参照のこと。三角積分も参照のこととする。

以下の全ての記述において、a は0でない、実数とする。また、C は積分定数とする。

三角関数の原始関数

${\displaystyle \int \sin ax\;\mathrm {d} x=-{\frac {1}{a}}\cos \left(ax\right)+C}$

${\displaystyle \int \cos ax\;\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\sin ax+C}$

${\displaystyle \int \tan ax\;\mathrm {d} x=-{\frac {1}{a}}\ln \left|\cos \left(ax\right)\right|+C={\frac {1}{a}}\ln \left|\sec \left(ax\right)\right|+C\,\!}$

${\displaystyle \int \cot ax\;\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\ln \left|\sin ax\right|+C\,\!}$

${\displaystyle \int \sec {ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\ln {\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|}+C={\frac {1}{a}}\operatorname {gd} ^{-1}(ax)+C\quad \operatorname {gd} ^{-1}x}$：グーデルマン関数の逆関数

${\displaystyle \int \csc {ax}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|}+C}$

正弦関数のみを含む式の原始関数

${\displaystyle \int \sin ax\;\mathrm {d} x=-{\frac {1}{a}}\cos ax+C\,\!}$

${\displaystyle \int \sin ^{2}{ax}\;\mathrm {d} x={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C\!}$

${\displaystyle \int \sin ^{3}{ax}\;\mathrm {d} x={\frac {\cos 3ax}{12a}}-{\frac {3\cos ax}{4a}}+C\!}$

${\displaystyle \int x\sin ^{2}{ax}\;\mathrm {d} x={\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {x}{4a}}\sin 2ax-{\frac {1}{8a^{2}}}\cos 2ax+C\!}$

${\displaystyle \int x^{2}\sin ^{2}{ax}\;\mathrm {d} x={\frac {x^{3}}{6}}-\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax-{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C\!}$

${\displaystyle \int \sin b_{1}x\sin b_{2}x\;\mathrm {d} x={\frac {\sin((b_{1}-b_{2})x)}{2(b_{1}-b_{2})}}-{\frac {\sin((b_{1}+b_{2})x)}{2(b_{1}+b_{2})}}+C\qquad {\mbox{(}}|b_{1}|\neq |b_{2}|{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int \sin ^{n}{ax}\;\mathrm {d} x=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}ax\;\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(}}n>2{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sin ^{n}ax}}={\frac {\cos ax}{a(1-n)\sin ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sin ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}n>1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int x\sin ax\;\mathrm {d} x={\frac {\sin ax}{a^{2}}}-{\frac {x\cos ax}{a}}+C\,\!}$

${\displaystyle \int x^{n}\sin ax\;\mathrm {d} x=-{\frac {x^{n}}{a}}\cos ax+{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\cos ax\;\mathrm {d} x=\sum _{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k+1}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\sin ax\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int _{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;\mathrm {d} x={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(}}n=2,4,6...{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x}}\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}}+C\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x^{n}}}\mathrm {d} x=-{\frac {\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\cos ax}{x^{n-1}}}\mathrm {d} x\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{1\pm \sin ax}}={\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {x\;\mathrm {d} x}{1+\sin ax}}={\frac {x}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {x\;\mathrm {d} x}{1-\sin ax}}={\frac {x}{a}}\cot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;\mathrm {d} x}{1\pm \sin ax}}=\pm x+{\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {ax}{2}}\right)+C}$

余弦関数のみを含む式の原始関数

${\displaystyle \int \cos ax\;\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\sin ax+C\,\!}$

${\displaystyle \int \cos ^{2}{ax}\;\mathrm {d} x={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C\!}$

${\displaystyle \int \cos ^{n}ax\;\mathrm {d} x={\frac {\cos ^{n-1}ax\sin ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}ax\;\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(}}n>0{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int x\cos ax\;\mathrm {d} x={\frac {\cos ax}{a^{2}}}+{\frac {x\sin ax}{a}}+C\,\!}$

${\displaystyle \int x^{2}\cos ^{2}{ax}\;\mathrm {d} x={\frac {x^{3}}{6}}+\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax+{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C\!}$

${\displaystyle \int x^{n}\cos ax\;\mathrm {d} x={\frac {x^{n}\sin ax}{a}}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\sin ax\;\mathrm {d} x\,=\sum _{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\cos ax+\sum _{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\sin ax\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x}}\mathrm {d} x=\ln |ax|+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(ax)^{2k}}{2k\cdot (2k)!}}+C\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x^{n}}}\mathrm {d} x=-{\frac {\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\sin ax}{x^{n-1}}}\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C={\frac {1}{a}}\operatorname {gd} ^{-1}(ax)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {\mathrm {d} x}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}n>1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{1+\cos ax}}={\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{1-\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {x\;\mathrm {d} x}{1+\cos ax}}={\frac {x}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {ax}{2}}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {x\;\mathrm {d} x}{1-\cos ax}}=-{\frac {x}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {ax}{2}}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;\mathrm {d} x}{1+\cos ax}}=x-{\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;\mathrm {d} x}{1-\cos ax}}=-x-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C\,\!}$

${\displaystyle \int \cos a_{1}x\cos a_{2}x\;\mathrm {d} x={\frac {\sin(a_{1}-a_{2})x}{2(a_{1}-a_{2})}}+{\frac {\sin(a_{1}+a_{2})x}{2(a_{1}+a_{2})}}+C\qquad {\mbox{(}}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}\,\!}$

正接関数のみを含む式の原始関数

${\displaystyle \int \tan ax\;\mathrm {d} x=-{\frac {1}{a}}\ln |\cos ax|+C={\frac {1}{a}}\ln |\sec ax|+C\,\!}$

${\displaystyle \int \tan ^{n}ax\;\mathrm {d} x={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}ax-\int \tan ^{n-2}ax\;\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{q\tan ax+p}}={\frac {1}{p^{2}+q^{2}}}(px+{\frac {q}{a}}\ln |q\sin ax+p\cos ax|)+C\qquad {\mbox{(}}p^{2}+q^{2}\neq 0{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\tan ax-1}}=-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\tan ax\;\mathrm {d} x}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\tan ax\;\mathrm {d} x}{\tan ax-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C\,\!}$

正割関数のみを含む式の原始関数

${\displaystyle \int \sec {ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\ln {\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|}+C={\frac {1}{a}}\operatorname {gd} ^{-1}(ax)+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\,\mathrm {d} x=\tan {x}+C}$

${\displaystyle \int \sec ^{n}{ax}\,\mathrm {d} x={\frac {\sec ^{n-2}{ax}\tan {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{ax}\,\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int \sec ^{n}{x}\,\mathrm {d} x={\frac {\sec ^{n-2}{x}\tan {x}}{n-1}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{x}\,\mathrm {d} x}$^[1]

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sec {x}+1}}=x-\tan {\frac {x}{2}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sec {x}-1}}=-x-\cot {\frac {x}{2}}+C}$

余割関数のみを含む式の原始関数

${\displaystyle \int \csc {ax}\,\mathrm {d} x=-{\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|}+C}$

${\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\,\mathrm {d} x=-\cot {x}+C}$

${\displaystyle \int \csc ^{n}{ax}\,\mathrm {d} x=-{\frac {\csc ^{n-1}{ax}\cos {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}{ax}\,\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\csc {x}+1}}=x-{\frac {2\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}}}+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\csc {x}-1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}-\sin {\frac {x}{2}}}}-x+C}$

余接関数のみを含む式の原始関数

${\displaystyle \int \cot ax\;\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\ln |\sin ax|+C\,\!}$

${\displaystyle \int \cot ^{n}ax\;\mathrm {d} x=-{\frac {1}{a(n-1)}}\cot ^{n-1}ax-\int \cot ^{n-2}ax\;\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{1+\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\;\mathrm {d} x}{\tan ax+1}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{1-\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\;\mathrm {d} x}{\tan ax-1}}\,\!}$

正弦関数と余弦関数を含む式の原始関数

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\cos ax\pm \sin ax}}={\frac {1}{a{\sqrt {2}}}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}\pm {\frac {\pi }{8}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(\cos ax\pm \sin ax)^{2}}}={\frac {1}{2a}}\tan \left(ax\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{(\cos x+\sin x)^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)^{n-1}}}-2(n-2)\int {\frac {\mathrm {d} x}{(\cos x+\sin x)^{n-2}}}\right)}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;\mathrm {d} x}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;\mathrm {d} x}{\cos ax-\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;\mathrm {d} x}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;\mathrm {d} x}{\cos ax-\sin ax}}=-{\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;\mathrm {d} x}{\sin ax(1+\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\tan ^{2}{\frac {ax}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;\mathrm {d} x}{\sin ax(1-\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\cot ^{2}{\frac {ax}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;\mathrm {d} x}{\cos ax(1+\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\cot ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;\mathrm {d} x}{\cos ax(1-\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\tan ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int \sin ax\cos ax\;\mathrm {d} x=-{\frac {1}{2a}}\cos ^{2}ax+C\,\!}$

${\displaystyle \int \sin a_{1}x\cos a_{2}x\;\mathrm {d} x=-{\frac {\cos((a_{1}-a_{2})x)}{2(a_{1}-a_{2})}}-{\frac {\cos((a_{1}+a_{2})x)}{2(a_{1}+a_{2})}}+C\qquad {\mbox{(}}|a_{1}|\neq |a_{2}|{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int \sin ^{n}ax\cos ax\;\mathrm {d} x={\frac {1}{a(n+1)}}\sin ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int \sin ax\cos ^{n}ax\;\mathrm {d} x=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cos ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int \sin ^{n}ax\cos ^{m}ax\;\mathrm {d} x=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ^{m+1}ax}{a(n+m)}}+{\frac {n-1}{n+m}}\int \sin ^{n-2}ax\cos ^{m}ax\;\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(}}m,n>0{\mbox{)}}\,\!}$

または ${\displaystyle \int \sin ^{n}ax\cos ^{m}ax\;\mathrm {d} x={\frac {\sin ^{n+1}ax\cos ^{m-1}ax}{a(n+m)}}+{\frac {m-1}{n+m}}\int \sin ^{n}ax\cos ^{m-2}ax\;\mathrm {d} x\qquad {\mbox{(}}m,n>0{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sin ax\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan ax\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sin ax\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sin ax\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sin ^{n}ax\cos ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sin ^{n-2}ax\cos ax}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;\mathrm {d} x}{\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\;\mathrm {d} x}{\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\sin ax+{\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\;\mathrm {d} x}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}-{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {\mathrm {d} x}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\;\mathrm {d} x}{\cos ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-1)}}+\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\;\mathrm {d} x}{\cos ax}}\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\;\mathrm {d} x}{\cos ^{m}ax}}={\frac {\sin ^{n+1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n}ax\;\mathrm {d} x}{\cos ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

または ${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\;\mathrm {d} x}{\cos ^{m}ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-m)\cos ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\;\mathrm {d} x}{\cos ^{m}ax}}\qquad {\mbox{(}}m\neq n{\mbox{)}}\,\!}$

または ${\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\;\mathrm {d} x}{\cos ^{m}ax}}={\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\;\mathrm {d} x}{\cos ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;\mathrm {d} x}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\;\mathrm {d} x}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\left(\cos ax+\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|\right)+C}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\;\mathrm {d} x}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\cos ax}{a\sin ^{n-1}ax)}}+\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sin ^{n-2}ax}}\right)\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}}$

${\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\;\mathrm {d} x}{\sin ^{m}ax}}=-{\frac {\cos ^{n+1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m-2}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n}ax\;\mathrm {d} x}{\sin ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

または ${\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\;\mathrm {d} x}{\sin ^{m}ax}}={\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(n-m)\sin ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\;\mathrm {d} x}{\sin ^{m}ax}}\qquad {\mbox{(}}m\neq n{\mbox{)}}\,\!}$

または ${\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\;\mathrm {d} x}{\sin ^{m}ax}}=-{\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\;\mathrm {d} x}{\sin ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(}}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

正弦関数と正接関数を含む式の原始関数

${\displaystyle \int \sin ax\tan ax\;\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}(\ln |\sec ax+\tan ax|-\sin ax)+C\,\!}$

${\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\;\mathrm {d} x}{\sin ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}(ax)+C\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

余弦関数と正接関数を含む式の原始関数

${\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\;\mathrm {d} x}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n+1)}}\tan ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}$

正弦関数と余接関数を含む式の原始関数

${\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\;\mathrm {d} x}{\sin ^{2}ax}}=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cot ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}$

余弦関数と余接関数を含む式の原始関数

${\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\;\mathrm {d} x}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(1-n)}}\tan ^{1-n}ax+C\qquad {\mbox{(}}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}$

対称性を利用した定積分の計算

${\displaystyle \int _{-c}^{c}\sin {x}\;\mathrm {d} x=0\!}$

${\displaystyle \int _{-c}^{c}\cos {x}\;\mathrm {d} x=2\int _{0}^{c}\cos {x}\;\mathrm {d} x=2\int _{-c}^{0}\cos {x}\;\mathrm {d} x=2\sin {c}\!}$

${\displaystyle \int _{-c}^{c}\tan {x}\;\mathrm {d} x=0\!}$

${\displaystyle \int _{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\cos ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;\mathrm {d} x={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(}}n=1,3,5...{\mbox{)}}\,\!}$

参照

関連項目

• 微分積分学
• 微分積分学の基本定理
• 解析学
• 積の微分法則
• 商の微分法則
• 部分積分
• 置換積分
• 不定積分

表 話 編 歴 微分積分学
Precalculus	二項定理 凹関数 連続関数 階乗 有限差分 自由変数と束縛変数 基本定理 関数のグラフ 線型関数 平均値の定理 ラジアン ロルの定理 割線 傾き 接線
極限	不定形（英語版） 関数の極限 片側極限 数列の極限 数列の加速法 近似のオーダー（英語版） ε-δ論法
微分法	連鎖律 導関数 微分 微分方程式 微分作用素 陰関数微分 逆関数の微分（英語版） ロピタルの定理 ライプニッツ則 対数微分 平均値の定理 ニュートン法 記法 ライプニッツの記法 ニュートンの記法 レギオモンタヌスの問題 相対変化率（英語版） 基本法則 線型性（英語版） 積 商 冪函数（英語版） 停留点 極値の判定（英語版） 最大値の定理 極値 テイラーの定理
積分法	逆微分 弧長 積分定数 積分記号下の微分（英語版） 微分積分学の基本定理 正割の立方の積分（英語版） 正割関数の積分（英語版） 半角正接置換法（英語版） 積分における部分分数（英語版） 二次有理式の積分（英語版） 円周率が22/7より小さいことの証明 基本法則 線型性（英語版） 部分積分 置換積分 台形公式 三角函数置換法（英語版）
ベクトル解析	回転 方向微分 発散 発散定理 勾配 勾配定理（英語版） グリーンの定理 ラプラシアン ストークスの定理
多変数微分積分学	曲率 Disc integration（英語版） 発散定理 外微分 ガブリエルのホルン 幾何解析（英語版） ヘッセ行列 ヤコビ行列と行列式 線積分 Matrix calculus 多重積分 偏微分 バウムクーヘン積分 面積分 テンソル解析 体積分
級数	アーベルの判定法（英語版） 交代 交代級数判定法（英語版） 算術幾何数列 二項 コーシーの凝集判定法 比較判定法 ディリクレの判定法 オイラー–マクローリンの公式 フーリエ 幾何 超幾何 q超幾何 調和 無限 積分判定法 極限比較判定法（英語版） マクローリン 冪 比判定法 冪根判定法 テイラー 項判定法（英語版）
特殊関数と数学定数	ベルヌーイ数 ネイピア数 オイラー定数 指数関数 自然対数 ガンマ関数 スターリングの近似 楕円関数
歴史（英語版）	擬等式（英語版） ブルック・テイラー コリン・マクローリン 代数の一般性（英語版） ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ 無限小 無限小解析（英語版） アイザック・ニュートン 連続の法則（英語版） レオンハルト・オイラー 『流率法』 (流率（英語版）) 『方法（英語版）』
一覧	微分法則（英語版） 指数関数の原始関数 双曲線関数の原始関数 逆双曲線関数の原始関数 逆三角関数の原始関数 無理関数の原始関数 対数関数の原始関数 有理関数の原始関数 三角関数の原始関数 極限 数学記号 原始関数
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