交代級数の打切り誤差（剰余項）

ライプニッツの収束判定法が適用できるとき、打切り誤差（剰余項）を厳密に評価できる^[1][3]。この技法はベッセル関数にも適用できる^[4]。

正項級数の打切り誤差（剰余項）

正項級数を

${\displaystyle S:=\sum _{m=0}^{\infty }a_{m}}$

と定めてその部分和を

${\displaystyle S_{n}:=\sum _{m=0}^{n}a_{m}}$

とする。このとき、

${\displaystyle 1>{\frac {a_{n+2}}{a_{n+1}}}>{\frac {a_{n+3}}{a_{n+2}}}>\cdots }$

が成り立つとき、公比の最大値を用いて打切り誤差を

${\displaystyle |S-S_{n}|=\left|\sum _{m=n+1}^{\infty }a_{m}\right|\leq {\frac {a_{n+1}}{1-a_{n+2}/a_{n+1}}}={\frac {{a_{n+1}}^{2}}{a_{n+1}-a_{n+2}}}}$

と評価できる^[5]。

テイラー級数の打切り誤差（剰余項）

テイラーの定理はテイラー級数の打切り誤差（剰余項）を与える定理である^[1][3]。数学関数の精度保証付き数値計算で重宝する^[2]。

行列指数関数の打切り誤差（剰余項）

行列指数関数:

${\displaystyle \exp(X):=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k},\quad X\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$

の打切り誤差（剰余項）を評価する手法として、scaling and squaring method が知られている^[6][7][8]。誤差評価は次のようになる：

${\displaystyle T_{r,s}(X):=\left[\sum _{j=0}^{r}{\frac {1}{j!}}(X/s)^{j}\right]^{s},\quad ||\exp(X)-T_{r,s}(X)||\leq {\frac {||X||^{r+1}}{s^{r}(r+1)!}}\exp(||X||).}$

超幾何級数の打切り誤差（剰余項）

公比を使うことで超幾何級数:

${\displaystyle _{r}F_{s}\left[{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{r}\\b_{1},b_{2},\dotsc ,b_{s}\end{matrix}};z\right]:=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}(a_{2})_{n}\dotsb (a_{r})_{n}}{(b_{1})_{n}(b_{2})_{n}\dotsb (b_{s})_{n}\;n!}}z^{n}}$

の打切り誤差（剰余項）を評価することができる^[9]。

任意濃度の添字集合の場合

必ずしも可算でない無限集合 I で添字付けられる非負実数の族 (a_i)_i∈I の総和は、発散する場合も含めて

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sup _{A\subset I \atop A{\text{:finite}}}{\Bigl \{}\sum _{i\in A}a_{i}\,{\bigr \}}\in [0,\infty ]}$

によって定義することができる。和の値が有限となるならば、a_i > 0 となるような i ∈ I は高々可算である。実際このとき、任意の n ≥ 1 に対して、集合 A_n = {i ∈ I | a_i > 1/n} は

${\displaystyle {\frac {1}{n}}{\textrm {card}}(A_{n})\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty }$

となるから、有限集合であることがわかる（ここに card(A) は集合 A の濃度を表す）。I が可算無限集合で、I = {i₀, i₁, ..., i_k, ...} と数え上げられるならば、先ほどの和の定義は

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}=\sum _{k=0}^{\infty }a_{i_{k}}}$

を満たす（級数の値として無限大 ∞ を許す）。

非負実数で添字付けられる族の和は、非負値関数の数え上げ測度に関する積分として理解することができる。この二つの構成の間には多くの共通性が認められる。

位相アーベル群における総和

任意の集合 I と位相アーベル群 X に対して、I で添字付けられた X の元の族 a: I → X を考える。F を I の有限部分集合全体の成す部分集合族とすると、F は集合の包含関係に関する半順序集合として、交わりと結びをもつ有向集合となることに注意する。このとき、族 a の和 S は極限

${\displaystyle S=\sum _{i\in I}a_{i}=\lim {\Big \{}\sum _{i\in A}a_{i}\,{\big |}A\in \mathbf {F} {\Bigr \}}}$

として定義される。このとき、和が有限確定ならば族 a は無条件総和可能 (英: unconditionally summable) であるという。「和 S が有限部分和の極限である」というのは、X における 0 の任意の近傍 V に対して I の有限部分集合 A₀ をうまく選べば

${\displaystyle S-\sum _{i\in A}a_{i}\in V\quad (\forall A\supset A_{0})}$

となるようにできることをいう。F は全順序集合ではないから、これは「部分和の数列の極限」というのとは異なり、有向点族（ネット）の極限と考えなければならない。

位相アーベル群 X における単位元 0 の任意の近傍 W に対し、V − V ⊂ W を満たすより小さな近傍 V が存在する。このことから、無条件総和可能族 (a_i)_i∈I の有限部分和の全体がコーシーネットを成すことが従う。すなわち、0 の任意の近傍 W に対し、I の有限部分集合 A₀ が存在して、

${\displaystyle \sum _{i\in A_{1}}a_{i}-\sum _{i\in A_{2}}a_{i}\in W,\quad (\forall A_{1},\forall A_{2}\supset A_{0})}$

を満たす。位相アーベル群 X が完備である場合には、族 a が X において無条件総和可能であることと、後述する「コーシーネット条件」を満たすことが同値になる。また、X が完備で (a_i)_i∈I が X において無条件総和可能ならば、I の任意の部分集合 J に対して対応する部分族 (a_j)_j∈J もまた無条件総和可能である。

非負実数の族の（先の定義の意味での、値として無限大を許す）和の場合、それが有限ならば、それは位相アーベル群 X として実数全体の成す加法群 R をとったときの、ここでいう意味での和と一致する。

X の元の族 a が無条件総和可能ならば、X の単位元 0 の任意の近傍 W に対して I の有限部分集合 A₀ が存在して、a_i ∈ W が A₀ に属さないすべての i について成り立つようにすることができる。ゆえに、X が第一可算公理を満たすならば、a_i ≠ 0 となるような添字 i ∈ I 全体の成す集合は可算であることが従う。これは一般の位相アーベル群においては必ずしも成り立たない（後述）。

無条件収束級数

添字集合を I = N とする。点列 (a_n)_n∈N が位相アーベル群 X において無条件総和可能な族ならば、この点列は通常の意味でも収束し、同じ値の和

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}}$

を持つ。定義の仕方から、無条件総和可能性は和を取る項の順番によって値が変化することは無い。すなわち、∑ a_n が無条件総和可能ならば、添字集合 N 上で任意の置換 σ を施したものも収束し、

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma (n)}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

が成り立つ。この逆もまた成立し、級数 ∑ a_n が任意の置換を施してもなお収束するならば、その級数は無条件収束する。X が完備ならば、無条件収束は任意の部分級数が収束することと同値であり、X がバナッハ空間ならば任意の符号付け ε_n (= ±1) から得られる級数

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\varepsilon _{n}a_{n}}$

が X において収束することとも同値である。X がバナッハ空間ならば絶対収束の概念を定義することができる。すなわち、X に属するベクトルの級数 ∑ a_n が絶対収束するとは

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbf {N} }\|a_{n}\|<\infty }$

となることをいう。バナッハ空間におけるベクトルの級数が絶対収束するならばその収束は無条件収束であるが、この逆が成り立つのはバナッハ空間が有限次元である場合に限る(Dvoretzky-Rogersの定理)^{[14] [15]}。

整列和

添字集合 I が（たとえば最小の超限順序数 α₀ のような）整列集合ならば、条件収束級数を考えることができる。超限帰納的に

${\displaystyle \sum _{\beta <\alpha +1}a_{\beta }=a_{\alpha }+\sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }}$

と定め、また極限順序数 α に対しては極限が存在する限り

${\displaystyle \sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }=\lim _{\gamma \to \alpha }\sum _{\beta <\gamma }a_{\beta }}$

と定義する。α₀ の違いを除いて全ての極限が存在するならばこの級数は収束する。

例

1. 写像 f: X → Y で Y が位相アーベル群のとき、X の各点 a に対し、
   ${\displaystyle f_{a}(x)={\begin{cases}0&(x\neq a)\\f(a)&(x=a)\end{cases}}}$
   で定義される写像の台は一元集合 {a} であり、このとき各点収束の位相に関して（すなわち、和が無限直積位相群 Y^X に値をとるものとして）
   ${\displaystyle f=\sum _{a\in X}f_{a}}$
   が成立する。
2. 任意添字集合 I 上の関数の和として1の分割
   ${\displaystyle \sum _{i\in I}\varphi _{i}(x)=1}$
   を構成することもできる。作り方から、形の上では非可算添字を持つ級数の和の概念が必要であるように見えるが、x が与えられるごとに和における非零項は有限個しかないので、この和において非可算和が生じることは無い。実用上はさらに関数族が「局所有限」（各 x に対して関数の値が有限個の例外を除く全ての近傍で消えている）などの仮定を置くのが普通である。φ_i が連続であるとか可微分であるなどの（有限和をとる操作で保たれる）「素性の良い性質」(英: regularity property) は関数族の任意の部分族の和に対して保たれる。
3. 最小の非可算順序数 ω₁ を順序位相に関する位相空間とみるとき、f(α) ≡ 1 で定義される定値関数 f: [0, ω₁) → [0, ω₁] は
   ${\displaystyle \sum _{\alpha \in [0,\omega _{1})}f(\alpha )=\omega _{1}}$
   を満足する（言い換えれば、1 の ω₁ 個の複写を加えたものは ω₁ に等しい）。極限は有限部分和ではなく全ての可算部分和に亘ってとるものに限る。この空間は可分 (英: separable) ではない。