上昇と下降

Lying over and incomparability

まず、いくつか用語を固定する。${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ と ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ がそれぞれ A と B の素イデアルであって

${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A={\mathfrak {p}}}$

であれば（${\displaystyle {\mathfrak {q}}\cap A}$ は自動的に A の素イデアルであることに注意せよ）、${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ は ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ の下にある (${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ lies under ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$) と言い ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ は ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ の上にある (${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ lies over ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$) という。一般に、可換環の環拡大 A⊆B が lying over property を満たすとは、A のすべての素イデアル P が B の素イデアル Q の下にあることをいう。

拡大 A⊆B が incomparability property を満たすとは、Q と Q' が A の素イデアル P の上にある B の相異なる素イデアルであるときにはいつでも Q⊈Q' かつ Q' ⊈Q であることをいう。

上昇

環の拡大 A⊆B が上昇性質 (going-up property) を満たす、上昇定理が成り立つとは、

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\subseteq {\mathfrak {p}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {p}}_{n}}$

が A の素イデアルの鎖で

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{m}}$

(m < n) が B の素イデアルの鎖であって各 1 ≤ i ≤ m に対して ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$ が ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ の上にあるようなときにはいつでも後者の鎖が各 1 ≤ i ≤ n に対して ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$ が ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ の上にあるような鎖

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\subseteq {\mathfrak {q}}_{2}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {q}}_{n}}$

に拡張できることをいう。

(Kaplansky 1970) において、拡大 A⊆B が上昇性質を満たせば lying-over property も満たすことが示されている。

下降

環の拡大 A⊆B が下降性質 (going-down property) を満たすとは、

${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1}\supseteq {\mathfrak {p}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {p}}_{n}}$

が A の素イデアルの鎖で

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{m}}$

(m < n) が B の素イデアルの鎖であって各 1 ≤ i ≤ m に対して ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$ が ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ 上にあるようなときにはいつでも後者の鎖が各 1 ≤ i ≤ n に対して ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$ が ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ の上にあるような鎖

${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1}\supseteq {\mathfrak {q}}_{2}\supseteq \cdots \supseteq {\mathfrak {q}}_{n}}$

に拡張できることをいう。

環準同型をもった環の拡大のケースの一般化がある。f : A → B を（単位的）環準同型であって B が f(A) の環拡大であるとする。このとき f が上昇性質 (going-up property) を満たすとは f(A) に対して B において上昇性質が成り立つことである。

同様に、f(A) が環拡大であれば、f が下降性質 (going-down property) を満たすとは下降性質が f(A) に対して B において成り立つということである。

A⊆B のような普通の環の拡大のケースでは、包含写像を考えればよい。