保存系

保存系である摩擦の無い単振り子の相平面図。真ん中の白い平衡点がサドルで、左右の紫の平衡点がセンターである。

物理学あるいは力学系理論において保存系（ほぞんけい、英語: conservative system）とは、相空間の体積が時間発展しても保存される性質を持つ系である。保存力学系とも呼ばれる。保存系に対し、体積が時間発展で縮小あるいは変化する系を散逸系という。

実現象のモデルの例でいえば、摩擦の無い振動子のような系全体のエネルギーが保存される場合が保存系に該当する。時間依存しないハミルトニアンを持つハミルトン系は保存系の一例である。保存量や第一積分と呼ばれる任意の軌道上で一定であるような実連続関数の存在で保存系を定義付ける場合もある。

定義

調和振動子の系の面積が時間発展で一定の様子。保存系の例

減衰を持った調和振動子の系の面積が時間発展で縮小していく様子。保存系ではない例。

力学系を定める自励系連立常微分方程式

$${\begin{cases}{\dot {x}}_{1}=f_{1}(x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n})\\{\dot {x}}_{2}=f_{2}(x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n})\\\vdots \\{\dot {x}}_{n}=f_{n}(x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n})\\\end{cases}}$$

あるいは

$${\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}})$$

を考える。ここで、

$${\boldsymbol {x}}=(x_{1},\ x_{2},\cdots ,\ x_{n})^{\top }\in \mathbb {R} ^{n}$$ $${\dot {\boldsymbol {x}}}=\left({\dot {x}}_{1},\ {\dot {x}}_{2},\cdots ,{\dot {x}}_{n}\right)^{\top }\in \mathbb {R} ^{n}$$ $${\boldsymbol {F}}=(f_{1},\ f_{2},\cdots ,\ f_{n})^{\top }$$ $${\dot {x}}={\frac {dx}{dt}}$$

である。微分方程式の独立変数 x₁, x₂, …, x_n は n 次元の相空間を張る。この微分方程式により、相空間上の各点 x にはベクトル F(x) が対応付けられる。相空間上の点は時間 t の経過によって相空間上を動いてく。ある時刻で相空間上のある連続な領域を考えると、その領域を占めている点の集合が時間経過で動く。系が保存系であれば、動いた後のそれらの点で占められる領域の体積は、時間経過前の元の領域の体積と等しい。

S 上の各点でベクトル F と S に外向きな法線ベクトル n の組を考える（図中の S は閉曲面というよりは、閉曲面の一部の図示に近い）

面積要素 dS が微小時間 dt の間に通過する体積

3次元相空間内のある体積を V(t) とし、それを覆う閉曲面を S とする。S 上の各点でベクトル F と S に外向きな法線ベクトル n の組を考えると、S 上の面積要素 dS は微小時間 dt の間に (F · ndt)dS という体積分だけ相空間を通過するので、dt 時間後の体積 V(t + dt) は

$$V(t+dt)=V(t)+\int _{S}({\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {n}}dt)dS$$

と表すことができる。これより

$${\dot {V}}(t)=\int _{S}{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {n}}dS$$

であるから、発散定理を適用すると、

$${\dot {V}}(t)=\int _{V}\operatorname {div} {\boldsymbol {F}}dV$$

が得られる。ここで、·V(t) は V(t) の時間微分を、div F は F の発散を意味する。この関係を n 次元に一般化すると、

$${\frac {{\dot {V}}(t)}{V(t)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\dot {x}}_{i}}{\partial x_{i}}}$$

という関係が得られる。微分方程式が保存系であれば ·V(t) = 0 であるから、上記の関係式より

$$\operatorname {div} {\boldsymbol {F}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial {\dot {x}}_{i}}{\partial x_{i}}}=0$$

が成り立つ。

滑らかな写像 f : ℝ² → ℝ² によって定まる2次元の離散力学系のヤコビ行列の行列式 det J が、任意の点で det J = 1 を満たすとき、写像 f は面積保存型と呼ばれる。3次元微分方程式で表される保存系のポアンカレ写像は、面積保存型写像になる。

性質や例

例えば、ハミルトン系は保存系の一種である。変数を (q₁, q₂, …, q_n, p₁, p₂, …, p_n) とする。時間依存しないハミルトニアン H を持つハミルトン系は

$${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$$

と表されるので、

$$\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}{\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}{\biggr )}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}{\biggr )}=0$$

となり、保存系の条件を満たす。ハミルトン系で時間経過しても体積が保たれる性質はリュービルの定理として知られる。面積保存型写像の場合のよく調べられている典型例は標準写像がある。実現象のモデルの例でいえば、摩擦のない振動子のような系全体のエネルギーが保存される場合が保存系に該当する。仮に時間を反転させても違和感の無い可逆な現象を表すのは保存系である。

ある領域がある方向には引き伸ばされ、それと直交する別の方向には縮む様子

保存系で体積が時間発展によって保存されるとき、一つの仕方としては、その体積を占めている領域が大きく変形せずに時間発展して、体積が保たれる場合が考えられる。もう一つの仕方は、領域のある方向は時間とともに e^λt のように引き伸ばされるが、それと直交する別の方向には e^−λt の縮み、領域は大きく変形するが体積は e^λt e^−λt = 1 のように保たれる場合が考えられる。近接する軌道が離れて行く度合いを定量化するリアプノフ指数 λ₁, λ₂,…, λ_n を使えば、初期体積 V₀ に対して t 時間後の体積 V(t) は、平均として

$$V(t)=V_{0}e^{(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n})t}$$

のように得ることができる。したがって、保存系のリアプノフ指数では

$$\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}=0$$

が成り立つ。写像の場合も同様に、k 回反復合成後の体積 V(k) は、平均として

$$V(k)=V_{0}e^{(\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{n})k}$$

のように得ることができる。

保存系の相空間にはアトラクターは存在しない。保存系の平衡点の種類は、鞍状点（サドル）または渦心点（センター、楕円型）に限られる。面積保存型写像の周期点も、サドル型か楕円型に限られる。カオスが存在する場合は、散逸系のストレンジアトラクターとは異なり、体積正の有限の領域を占める。物理的な例としては三体問題や二重振り子が保存系のカオスの代表例である。

別の定義

→「運動の積分」も参照

保存系の定義は、体積変化の有無で定義するのが一般的であるが、系全体のエネルギーが保存されることを以って保存系を定義することもある。より一般的には、力学系あるいは微分方程式

$${\dot {\boldsymbol {x}}}={\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {x}})$$

に対し、x を変数とする非定数実連続関数 E : ℝⁿ → ℝ が系の任意の軌道（微分方程式の解）の上で定数であるとき、E を保存量や第一積分と呼ぶ。このような保存量が存在する系を指して保存系とも呼ぶ。ハミルトン系の場合は、そのハミルトニアン H(q₁, …, q_n, p₁, …, p_n) 自体が保存量である。

参照文献

• 長島 弘幸・馬場 良和、1992、『カオス入門 ―現象の解析と数理―』初版、培風館 ISBN 4-563-02200-4
• 井上 政義・秦 浩起、1999、『カオス科学の基礎と展開 ―複雑系の理解に向けて』初版、共立出版 ISBN 4-320-03323-X
• G・L・ベイカー； J・P・ゴラブ、松下 貢（訳）、1992、『カオス力学入門 ―基礎とシミュレーション―』、啓学出版 ISBN 4-7665-0608-1
• ピエール・ベルゲジェ；イヴェ・ポモウ；クリスチャン・ビダル、相澤 洋二（訳）、1992、『カオスの中の秩序 ―乱流の理解へ向けて』、産業図書 ISBN 4-7828-0068-1
• K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク、津田 一郎（監訳）、星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏（訳）、2012、『カオス　第3巻　力学系入門』、丸善出版 ISBN 978-4-621-06540-2
• Steven H. Strogatz、田中 久陽・中尾 裕也・千葉 逸人（訳）、2015、『ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス ―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで―』、丸善出版 ISBN 978-4-621-08580-6
• 森 真・水谷 正大、2009、『入門力学系 ―自然の振舞いを数学で読みとく―』、東京図書 ISBN 978-4-489-02050-6

外部リンク

• 保存系 - J-GLOBAL
• 「保存系」 - 機械工学事典（日本機械学会）