読む 編集 履歴表示

相空間

ウィキペディアから、無料の百科事典
コンテンツにスキップ

相空間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
ローレンツ方程式の xyz 相空間とその上の軌道の例

力学系理論における相空間（そうくうかん、英: phase space）は、対象のシステムが取る状態全てから成る抽象的な空間である[1]。状態空間（じょうたいくうかん、英: state space）ともいう[2][3]。時間に依存する非自励系では、自励系の問題に帰着させるために時間を従属変数として取り込んだ1次元高い相空間を考える場合があり、これは拡大相空間（英: extended phase space）と呼ばれる[4][5]。

物理学分野の解析力学（とくにハミルトン力学）では相空間と同種のものが、位置と運動量を座標した空間という狭い意味で用いられており、位相空間とも呼ばれる。数学分野では普通は topological space の意味で「位相空間」という用語を使うことから、混乱のおそれがあるときや数学分野では phase space の意を指すために「相空間」を使う。

用語と背景

[編集]

力学系とは、システム（系）の将来の状態が現在の状態から一意に決まる決定論的な過程を、数学的に定式化したものを指す[6]。相空間とは、力学系の基本構成要素の一つで、対象のシステムが取り得る状態全てを集めてできる集合である[6]。相空間を Xと表すと、現在の状態から次の状態を定める決定論的法則 F と時間 T の2つを加えて、(X, F, T) の一組で力学系が成立する[6]。通常、系の状態はいくつかの変数 x1, x2,…, xn で表される[7]。このような変数は状態変数などと呼ばれる[7][3]。1組の状態変数 (x1, x2,…, xn) によって、系の状態は一意に表せられる[8]。状態変数 (x1, x2,…, xn) で張られた空間が相空間である[7]。

相空間を構成する要素 (x1, x2,…, xn) は、単に点と呼ばれる[9][10][11]ほかに、相[12][13]、相点[14][12]、位相[1][13]、位相点[15][7]、代表点[15][16]、状態[3]などと呼ばれる。状態変数の個数すなわち相空間の座標の数は、相空間または力学系の次元と呼ばれる[17][18][19]。特に相空間は、状態変数が実数1つ（R1）のときには相直線、状態変数が実数2つ（R2）のときには相平面と呼ばれることもある[20]。ここで、R は実数全体の集合である。

物理的な空間の単振り子の運動（下図）を、相空間（上図）の点の運動として表したアニメーション。上図の横軸が振れ角 θ で、縦軸が角速度 ω に該当する。

実現象の例として、長さ一定で空気抵抗やその他外部からの影響を排した単振り子の運動を考える。この力学系の状態は振れ角 θ とその角速度 ω で一意に決まるので、(θ, ω) が状態を表す変数である[21]。そして、θ と ω の組全体から成る抽象的な空間（θ と ω を座標とする平面）を考えると、これが振り子という力学系の相空間である[21][11]。

相空間というものを導入することによって、空間上の1点を指定する形でシステムの状態を議論できるようになる[8]。すなわち相空間とは、システムの状態の振る舞いを解析するときに、そのシステムの状態は空間上でどんな動きをするのかという視点に切り替える概念的道具といえる[22]。相空間上の点は、時間変化によって相空間内を動く。相空間上を点が動いてできる経路は軌道と呼ばれる[7]。時間を連続的なものとして考える力学系では、軌道は相空間上で連続的な曲線を描く[23]。一方、時間を離散的なものとして考える力学系では、軌道は相空間上でとびとびの点列となる[23]。決定論的に状態が定まるという要請により、相空間における2つの異なる軌道が交わることはない[24]。ある力学系の全軌道の概略を相空間上に示した図を、相図（英: phase portrait）という[25][26]。

次元と構造

[編集]

一般的な力学系（とくに位相力学系）では、相空間を位相空間（英: topological space）として設定する[27][28][29]。ただし、相空間をまったく純粋な位相空間に設定すると、あまり詳しい結果は得られない[30]。実際には、位相空間であることに加え、例えば距離空間など何らかの仮定を相空間に持たせて議論を進める[31][32]。

可微分力学系では、相空間に微分構造を持たせる[33]。ベクトル場で定まる連続力学系がその典型例である[33]。状態変数を x = (x1, x2, … xn) ∈ X ⊂ Rn、時間を t ∈ R とする。力学系が n 連立一階微分方程式

(1 )

で与えられるとき (k = 1,… n)、相空間上の各点にはベクトル f (x): X → Rn が対応付けられる[34]。このとき、f (x) は微分方程式の解曲線の接ベクトルに一致し、各点が時間経過したときに動く方向と大きさを表す[35][36]。

測度論的力学系を展開するときは、相空間には可測構造を持たせる[37]。この場合、相空間 X に対してσ-集合体 F が存在し、A ∈ F に対して確率測度 μ が与えられる[37][38]。また、相空間がコンパクトであると仮定できれば、解析がやさしくなり、一般的な枠組みを議論できるほど多くの結果を得ることができる[39][40]。

力学系の例として多いのは、システムの状態がいくつかの実数の組 (x1, x2, … xn) で表される場合で、空間としてはユークリッド空間 Rn あるいはその部分集合で考えられることが多い[19][41][9]。下記のように実際には相空間は多様体で考えるべき場合も多いが、いくつかの注意を払えば、相空間を Rn あるいはその部分集合と仮定しても多くの場合で一般性は失われない[19][42]。

相空間の次元と形状は、軌道が取り得る形にも制限を与える[43]。相空間が高次元になると、軌道が動き回れる余地が大きくなり、より多種多様な振る舞いが可能になる[44]。一般的に、系が非線形でなおかつ高次元になるほど系の取り扱いが難しくなる[45]。力学系の軌道は特定の多様体上に制限されていることもあり、より一般的には相空間は多様体となる[19][46][47]。多様体に制限することで、それぞれの多様体が持つトポロジカルな性質を利用することもできる[48]。上記の単振り子の例でいえば、角速度 ω は単に実数だが、振れ角 θ の定義域は −π < θ ≤ π であり、これは幾何学的には円周と同一視できる[49][50][6]。したがって、単振り子の系の相空間は、円周 S1 または T1 と直線 R の直積集合で、幾何学的には無限に長い円柱面となる[51][49][50][6]。

相空間の次元と形状が軌道に与える制限の例として、自励的な常微分方程式で定まる連続力学系を考えると、相空間が実数直線 R のときは有界な軌道は平衡点へ収束する軌道しかないことが分かる[43][52]。有界でない場合は、軌道は無限大へと発散するしかない[52]。相空間が平面 R2 のときは、周期軌道のような新たな軌道の種類が許されるようになる[43]。ポアンカレ・ベンディクソンの定理によって示されるように、R2 上で有界な軌道は、平衡点または周期軌道を極限集合とする[53][54]。ポアンカレ・ベンディクソンの定理は2次元球面 S2 でも成り立つが、2次元トーラス T2 では成り立たなくなる[55]。T2 上の力学系では、準周期的な軌道が発生するようになる[56]。R2 上の力学系は、平面の制限によりそれでもなお簡単化されている[57]。相空間が3次元 R3 以上のときは、カオスという非周期的な軌道が発生するようになる[58]。状態の空間的に連続的に分布している偏微分方程式で記述されるような力学系では、相空間の次元は無限になる[59]。

写像で定義される離散力学系では、軌道が連続的であるという制約がないため、連続力学系に比べて振る舞いの制限が少ない[60][61]。離散力学系では、相空間が R のときでもカオスのような軌道が発生可能である[62][63]。しかし、R 上で離散力学系がカオスを発生させるには、それを定める写像が不可逆（2対1写像）でなければならない[64][58]。R 上で全単射だと、写像は相空間を縮めるか引き伸ばすかどちらか片方の作用しかできない[64]。また、離散力学系も相空間が2次元以上になると、1つの点に対して近傍である方向には軌道が近づていくが別の方向には離れていくといった現象が可能となる[65]。これにより、安定多様体と不安定多様体の発生、およびそれらの交差が写像が可逆（同相写像）であっても可能となり、カオスが発生する[66][67]。

以上で見たように、相空間の次元が低ければ、系の解析がやさしくなる[68]。Rn 上で定義されたベクトル場が第一積分を持つとき、そのレベル集合によって定まる n − 1 次元の多様体上のベクトル場へ帰着させることもできる[69]。これも相空間を多様体で考える理由の一つである[68][70]。また、ポアンカレ写像の利用により、n 次元の連続力学系を n − 1 次元の離散力学系に帰着させることもできる[71]。

拡大相空間

[編集]

式 (1) のような f が時間 t を陽に含まない微分方程式系は自律系と呼ばれる[72]。自律系の微分方程式系は、現在の状態 x のみで次の状態が定まるという力学系の決定論的な考え方と合致する[73]。一方で、以下のように t を陽に含む微分方程式系 (k = 1,… n) は非自律系と呼ばれる[74]。

(2 )

非自律系では x = (x1, x2, … xn) を定めても、ベクトル f (x) は一つに定まらず、時間によって変化する[4]。非自励系について相空間（x が定義されている空間）上で軌道を考えると、自励系とは異なり軌道が交差し得る[75]。

そこで、元の状態変数 x に時間 t を加えた組 (x, t) を座標とする空間 X × R を考える[4][5]。t を形式的に n + 1 番目の状態変数 xn + 1 ∈ R と見なせば、

(3 )

という風に自律系の n + 1 連立一階微分方程式に帰着でき、空間 X × R 上の各点には方程式の右辺を成分とするベクトルが一意に定まる[4][5]。元の n 次元相空間 X と区別し、このような n + 1 次元空間 X × R は拡大相空間（英: extended phase space）と呼ばれる[4][5]。拡大相空間で考えることによって軌道の交差が無くなるので、系の振る舞いを考察しやすくなる[76]。

非自律系が時間に関して周期的な場合、すなわち式 (2) において fk(x1,…, xn, t) = fk(x1,…, xn, t + τ) を充たすような定数 τ ∈ R が存在する場合、拡大相空間は X × R よりも X × T1 の空間で考える方が適する[77]。ここで T1 は、Z を整数全体の集合としたときに T1 = R/τ Z で定まる1次元トーラスである[77]。

解析力学における「相空間」

[編集]
→詳細は「位相空間 (物理学)」を参照

物理学の解析力学（とくにハミルトン力学）で扱われる相空間は、物体の位置 q と運動量 p を座標とする空間である[78]。これに対し、位置 q だけの空間は配位空間と呼ばれる[79]。q の自由度が n のとき、相空間は 2n 次元 となる[80]。狭い意味での「相空間」は、このような力学分野における位置と運動量を座標にした 2n 次元空間を指す[81]。

力学における「相空間」も、数学における「相空間」も、もとは phase space からの和訳で、数学以外では「位相空間」とも訳される[78][82]。しかし、数学では前出の topological space の意味で「位相空間」という用語を使うので、数学分野または混合のおそれがある場合には phase space の意味では「相空間」という用語を使う[78][82]。「phase space」という用語自体は、力学で「phase space（位相空間）」という用語が使われていたのが先で、それを借用して数学でも「phase space（相空間）」という用語で用いられている[82]。

出典

[編集]
  1. 1 2 丹羽 2004, p. 16.
  2. ↑ 青木・白岩 2013, pp. 14–15.
  3. 1 2 3 徳永 1990, p. 66.
  4. 1 2 3 4 5 丹羽 2004, p. 37.
  5. 1 2 3 4 伊藤 1998, p. 13.
  6. 1 2 3 4 5 國府 2000, p. 1.
  7. 1 2 3 4 5 井上・秦 1999, p. 65.
  8. 1 2 森・水谷 2009, p. 9.
  9. 1 2 Jackson 1994, p. 16.
  10. ↑ ウィギンス 2013, p. 2.
  11. 1 2 Strogatz 2015, p. 8.
  12. 1 2 丹羽 2004, pp. 16, 34.
  13. 1 2 齋藤 2004, p. 19.
  14. ↑ 小室 2005, p. 8.
  15. 1 2 井上 1996, p. 44.
  16. ↑ 下條 1992, p. 5.
  17. ↑ Strogatz 2015, p. 9.
  18. ↑ アリグッド・サウアー・ヨーク 2012, p. 99.
  19. 1 2 3 4 丹羽 2004, p. 31.
  20. ↑ 今・竹内 2018, p. 107.
  21. 1 2 丹羽 2004, p. 21.
  22. ↑ Jackson 1994, p. 17.
  23. 1 2 井上・秦 1999, pp. 25–26.
  24. ↑ 井上・秦 1999, p. 66.
  25. ↑ 伊藤 1998, p. 47.
  26. ↑ Strogatz 2015, p. 138.
  27. ↑ 久保・矢野 2018, p. 26.
  28. ↑ 青木・白岩 2013, p. 15.
  29. ↑ 齋藤 2002, p. 15.
  30. ↑ 齋藤 2004, p. 46.
  31. ↑ 齋藤 2002, pp. 16–17.
  32. ↑ 久保・矢野 2018, p. 27.
  33. 1 2 久保・矢野 2018, p. 28.
  34. ↑ 小室 2005, pp. 17–18.
  35. ↑ 伊藤 1998, pp. 10, 13.
  36. ↑ 森・水谷 2009, p. 24.
  37. 1 2 久保・矢野 2018, pp. 29–30.
  38. ↑ 森・水谷 2009, pp. 155–161.
  39. ↑ 齋藤 2002, p. 8.
  40. ↑ 久保・矢野 2018, pp. xiv, 69.
  41. ↑ ウィギンス 2013, p. 1.
  42. ↑ ウィギンス 2013, pp. 1–2.
  43. 1 2 3 アリグッド・サウアー・ヨーク 2012, p. 145.
  44. ↑ Strogatz 2015, p. 135.
  45. ↑ Strogatz 2015, pp. 13–14.
  46. ↑ Jackson 1994, p. 20.
  47. ↑ 國府 2000, pp. 1–2.
  48. ↑ 齋藤 2002, p. 16.
  49. 1 2 Strogatz 2015, p. 188.
  50. 1 2 齋藤 2004, p. 87.
  51. ↑ 丹羽 2004, pp. 10, 21.
  52. 1 2 Strogatz 2015, p. 32.
  53. ↑ アリグッド・サウアー・ヨーク 2012, p. 153.
  54. ↑ 深谷 2004, p. 161.
  55. ↑ 深谷 2004, p. 162.
  56. ↑ 深谷 2004, pp. 120–121, 162.
  57. ↑ Jackson 1994, p. 197.
  58. 1 2 井上 1996, p. 55.
  59. ↑ Strogatz 2015, pp. 12–13.
  60. ↑ Strogatz 2015, p. 381.
  61. ↑ Jackson 1994, p. 124.
  62. ↑ 千葉 2021, p. 243.
  63. ↑ 井上・秦 1999, p. 9.
  64. 1 2 千葉 2021, p. 232.
  65. ↑ アリグッド・サウアー・ヨーク 2012, p. 1.
  66. ↑ 千葉 2021, pp. 239–244.
  67. ↑ 井上・秦 1999, pp. 90–91.
  68. 1 2 久保・矢野 2018, p. xiv.
  69. ↑ 伊藤 1998, pp. 29–31.
  70. ↑ 齋藤 2002, p. 5.
  71. ↑ ウィギンス 2013, p. 65.
  72. ↑ 下條 1992, p. 8.
  73. ↑ アリグッド・サウアー・ヨーク 2012, pp. 88–89.
  74. ↑ 小室 2005, p. 20.
  75. ↑ 千葉 2021, p. 118.
  76. ↑ 千葉 2021, p. 241.
  77. 1 2 丹羽 2004, p. 127.
  78. 1 2 3 深谷 2004, p. 31.
  79. ↑ 前野 2013, p. 215.
  80. ↑ 前野 2013, p. 220.
  81. ↑ 伊藤 1998, p. 111.
  82. 1 2 3 齋藤 2004, p. 20.

参照文献

[編集]

外部リンク

[編集]
「https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=相空間&oldid=109758931」から取得