この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方） 出典検索?: "双代数" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL (2009年12月)

数学において，体 K 上の双代数（そうだいすう，英: bialgebra）とは，K 上のベクトル空間であって，単位的結合代数かつ余代数であるようなものである．代数構造と余代数構造はさらなる公理によって整合性を持つ．具体的には，余積と余単位はともに単位的代数の準同型である，あるいは同じことであるが，代数の積と単位射はともに余代数の準同型である．（これらのステートメントは同じ可換図式によって表されるから同値である．）

類似している双代数は双代数準同型によって関連付けられる．双代数の準同型は代数と余代数両方の準同型であるような線型写像である．

可換図式の対称性に反映されているように，双代数の定義は自己双対であり，したがって，B の双対を定義できるならば（B が有限次元ならいつでも可能である），自動的に双代数になる．

形式的な定義

(B, ∇, η, Δ, ε) が K 上の双代数 (bialgebra) であるとは，以下の性質を満たすことをいう：

• B は K 上のベクトル空間である；
• 2つの K 線型写像（乗法）∇: B ⊗ B → B（K 双線型写像 ∇: B × B → B と同値である）と（単位射）η: K → B が存在して，(B, ∇, η) は単位的結合的代数である；
• 2つの K 線型写像（余積）Δ: B → B ⊗ B と（余単位射）ε: B → K が存在して，(B, Δ, ε) は（余単位的余結合的）余代数である；
• 以下の可換図式によって表される協調性条件：

1. 乗法 ∇ と余乗法 Δ^[1]

   

   ただし τ: B ⊗ B → B ⊗ B は B のすべての x と y に対して τ(x ⊗ y) = y ⊗ x で定義される線型写像，

2. 乗法 ∇ と余単位 ε

   

3. 余乗法 Δ と単位 η^[2]

   

4. 単位射 η と余単位射 ε

   

余結合性と余単位

K 線型写像 Δ: B → B ⊗ B が余結合的とは ${\displaystyle (\mathrm {id} _{B}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta }$ が成り立つことをいう．

K 線型写像 ε: B → K が余単位射であるとは ${\displaystyle (\mathrm {id} _{B}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{B}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta }$ が成り立つことをいう．

余結合性と余単位射は次の2つの図式の可換性によって表される（それらは代数の結合性と単位元をあらわす図式の双対である）：

協調性の条件

4つの可換図式は「余積と余単位は代数の準同型である」あるいは同じことだが「積と単位射は余代数の準同型である」と読むことができる．

これらの主張は B の他の関係するすべてのベクトル空間における代数と余代数の自然な構造を説明すれば意味が分かる：(K, ∇₀, η₀) は明らかな方法で単位的結合代数であり，(B ⊗ B, ∇₂, η₂) は単位的結合代数で，単位射と積は

${\displaystyle \eta _{2}:=(\eta \otimes \eta ):K\otimes K\equiv K\to (B\otimes B)}$

${\displaystyle \nabla _{2}:=(\nabla \otimes \nabla )\circ (id\otimes \tau \otimes id):(B\otimes B)\otimes (B\otimes B)\to (B\otimes B)}$,

したがって ${\displaystyle \nabla _{2}((x_{1}\otimes x_{2})\otimes (y_{1}\otimes y_{2}))=\nabla (x_{1}\otimes y_{1})\otimes \nabla (x_{2}\otimes y_{2})}$ あるいは ∇ を省いて積を並置で書いて ${\displaystyle (x_{1}\otimes x_{2})(y_{1}\otimes y_{2})=x_{1}y_{1}\otimes x_{2}y_{2}}$;

同様に，(K, Δ₀, ε₀) は明らかな方法で余代数であり，B ⊗ B は余代数で余単位と余積は

${\displaystyle \epsilon _{2}:=(\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K\otimes K\equiv K}$

${\displaystyle \Delta _{2}:=(id\otimes \tau \otimes id)\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)\otimes (B\otimes B)}$

である．

すると，図式 1 と 3 は Δ: B → B ⊗ B は単位的（結合）代数 (B, ∇, η) と (B ⊗ B, ∇₂, η₂) の準同型である

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =\nabla _{2}\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)}$, あるいは単に Δ(xy) = Δ(x) Δ(y),

${\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta _{2}:K\to (B\otimes B)}$, あるいは単に Δ(1_B) = 1_{B ⊗ B}

と言っている；図式 2 と 4 は ε: B → K が単位的（結合）代数 (B, ∇, η) と (K, ∇₀, η₀) の準同型であると言っている：

${\displaystyle \epsilon \circ \nabla =\nabla _{0}\circ (\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K}$, あるいは単に ε(xy) = ε(x) ε(y)

${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\eta _{0}:K\to K}$, あるいは単に ε(1_B) = 1_K.

同じことだが，図式 1 と 2 は ∇: B ⊗ B → B が（余単位的余結合）余代数 (B ⊗ B, Δ₂, ε₂) と (B, Δ, ε) の準同型である：

${\displaystyle \nabla \otimes \nabla \circ \Delta _{2}=\Delta \circ \nabla$ :(B\otimes B)\to (B\otimes B),}

${\displaystyle \nabla _{0}\circ \epsilon _{2}=\epsilon \circ \nabla$ :(B\otimes B)\to K}

と言っていて，図式 3 と 4 は η: K → B は（余単位的余結合）余代数 (K, Δ₀, ε₀) と (B, Δ, ε) の準同型である：

${\displaystyle \eta _{2}\circ \Delta _{0}=\Delta \circ \eta :K\to (B\otimes B),}$

${\displaystyle \eta _{0}\circ \epsilon _{0}=\epsilon \circ \eta :K\to K}$

と言っている．

例

関連項目

• 準双代数（英語版）
• フロベニウス代数
• ホップ代数

脚注

参考文献

• Dăscălescu, Sorin; Năstăsescu, Constantin; Raianu, Șerban (2001), Hopf Algebras: An introduction, Pure and Applied Mathematics, 235 (1st ed.), Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0481-9 .